数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 空間？ / Page: 0]

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■41868 / inTopicNo.1)

　空間？

□投稿者/ zen 一般人(3回)-(2010/06/04(Fri) 22:40:54)

底面の半径は１で高さも１である直円柱がある。この底面の直径ABを含み、
底面と４５°の傾きをなす平面で、直円柱を二つの立体に分けるとき、
小さい方の立体の体積を求めなさい。
立体も想像もままなりません・・・どなたか説明してください。
よろしくお願いします。

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■41876 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 空間？

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□投稿者/ miyup 大御所(1124回)-(2010/06/05(Sat) 14:42:05)

■No41868に返信(zenさんの記事)
> 底面の半径は１で高さも１である直円柱がある。この底面の直径ABを含み、
> 底面と４５°の傾きをなす平面で、直円柱を二つの立体に分けるとき、
> 小さい方の立体の体積を求めなさい。

ソーセージをななめにカットした感じです。

その立体をｙ軸に平行に、x＝t の場所でカットすると
切り口は直角二等辺三角形になるので
求める体積は、∫[-1→1](切り口の面積の式)dt

752×752 => 250×250

1275716525.png/10KB

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■41889 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 空間？

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□投稿者/ zen 一般人(4回)-(2010/06/06(Sun) 23:04:02)

■No41876に返信(miyupさんの記事)
> ■No41868に返信(zenさんの記事)
>>底面の半径は１で高さも１である直円柱がある。この底面の直径ABを含み、
>>底面と４５°の傾きをなす平面で、直円柱を二つの立体に分けるとき、
>>小さい方の立体の体積を求めなさい。
>
> ソーセージをななめにカットした感じです。
>
> その立体をｙ軸に平行に、x＝t の場所でカットすると
> 切り口は直角二等辺三角形になるので
> 求める体積は、∫[-1→1](切り口の面積の式)dt

本当にすみません。何度も何度も考えてもわかりません・・・
面積だから積分を使う意味はわかるんですが、範囲がー１から１の意味や、
どうして切り口の面積の積分をすればいいのかわかりません。
もう一度説明聞いていいですか？

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■41890 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 空間？

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□投稿者/ miyup 大御所(1127回)-(2010/06/06(Sun) 23:34:31)

■No41889に返信(zenさんの記事)
> 面積だから積分を使う意味はわかるんですが、範囲がー１から１の意味や、
> どうして切り口の面積の積分をすればいいのかわかりません。

切り口をスライスハムの１枚と考えて
これをたくさん重ねると元のハムの固まりになります。
つまり
スライスハム＝断面積、元のハム＝体積
ということで
おおまかに「体積＝∫断面積」（∫は集めて加えること）と考えます。

x＝t の位置で立体の断面積を t の式で表して
この断面積を -1≦t≦1 の範囲で集めて加えるのが
∫[-1→1](切り口の面積の式)dt
という計算になります。

教科書の積分（体積）の所に説明があるので、復習してみてください。

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■41891 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 空間？

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□投稿者/ zen 一般人(5回)-(2010/06/07(Mon) 01:38:27)

■No41890に返信(miyupさんの記事)
> 切り口をスライスハムの１枚と考えて
> これをたくさん重ねると元のハムの固まりになります。
> つまり
> スライスハム＝断面積、元のハム＝体積
> ということで
> おおまかに「体積＝∫断面積」（∫は集めて加えること）と考えます。
>
> x＝t の位置で立体の断面積を t の式で表して
> この断面積を -1≦t≦1 の範囲で集めて加えるのが
> ∫[-1→1](切り口の面積の式)dt
> という計算になります。
>
> 教科書の積分（体積）の所に説明があるので、復習してみてください。

調べ方が悪いんですかね・・・空間の積分の仕方がどこにも・・・
おそらく普通の人ならすごく分かりやすい解説なんだと思うんですが、
どうも僕には・・
ありがとうございました。いろいろ探します。

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■41892 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 空間？

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□投稿者/ K 一般人(2回)-(2010/06/07(Mon) 07:35:52)

上の図の赤い直角三角形がわずかに厚さを持っていると想像して、それを積み重ねると全体の求めたい体積になるという意味です。
その厚さを無限小にして積み重ねる（足し合わせる）と考えるのが積分の考え方です。
注意しなければならないのは、場所によって断面積である直角三角形の大きさが変わるということです。
上の図で言うと、x=-1とx=1の場所では断面積は最小（はっきり言って０）で、x=0で最大の面積になります。

同じような考え方で、円錐の体積を求めることができます。
円錐の底面に沿った断面積は、どこで切っても断面は円ですが、底面で面積が最大で、高さが上がるごとに面積は小さくなっていき、頂点で最小（０になる）です。
これと同じことです。

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