 | 置換しなくてもできることはできますが…
（部分積分を繰返し使う例）
∫[0〜3]x^3/√(x+1)dx
=[x^3・2√(x+1)][0〜3]-∫[0〜3]3x^2・2√(x+1)dx
=108-∫[0〜3]3x^2・2√(x+1)dx
=108-[3x^2・(4/3)(x+1)^(3/2)][0〜3]+∫[0〜3]6x・(4/3)(x+1)^(3/2)dx
=108-288+∫[0〜3]6x・(4/3)(x+1)^(3/2)dx
=-180+[6x・(8/15)(x+1)^(5/2)][0〜3]-∫[0〜3]6(8/15)(x+1)^(5/2)dx
=-180+1536/5-∫[0〜3]6(8/15)(x+1)^(5/2)dx
=636/5-[(96/105)(x+1)^(7/2)][0〜3]
=636/5-4064/35
=388/35
（部分積分を使わない例）
{√(x+1)}^2=x+1
{√(x+1)}^4=x^2+2x+1
{√(x+1)}^6=x^3+3x^2+3x+1
から
x^3=(x^3+3x^2+3x+1)-3(x^2+2x+1)+3(x+1)-1
={√(x+1)}^6-3{√(x+1)}^4+3{√(x+1)}^2-1
なので
∫[0〜3]x^3/√(x+1)dx
=∫[0〜3]{{√(x+1)}^6-3{√(x+1)}^4+3{√(x+1)}^2-1}/√(x+1)dx
=∫[0〜3](x+1)^(5/2)-3(x+1)^(3/2)+3(x+1)^(1/2)-(x+1)^(-1/2)dx
=[(2/7)(x+1)^(7/2)-3(2/5)(x+1)^(5/2)+3(2/3)(x+1)^(3/2)-2(x+1)^(1/2)][0〜3]
=388/35
置換した方が確実で早いと思います。
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