 | ω=(-1+√3･i)/2 → 2ω=-1+√3･i → 2ω+1=√3･i → 4ω^2+4ω+1=-3 → 4ω^2+4ω+4=0 → ω^2+ω+1=0
ω^3=ω^2･ω=-(ω+1)･ω=-(ω^2+ω)=-(-1)＝1
ω^4=ω^3･ω=1･ω=ω
∴ ω^2=-(ω+1), ω^3=1, ω^4=ω
(1)
(a+bω+cω^2)(a+bω^2+cω)
=bcω^4+(b^2+c^2)ω^3+(ab+bc+ca)ω^2+(ab+ca)ω+a^2
=bcω+(b^2+c^2)･1+(ab+bc+ca)･-(ω+1)+(ab+ca)ω+a^2
=bcω+(b^2+c^2)-(ab+bc+ca)ω-(ab+bc+ca)+(ab+ca)ω+a^2
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
(2)
(a+b)(a+bω)(a+bω^2)
=(a+b)(b^2･ω^3+abω^2+abω+a^2)
=(a+b){b^2･1+ab･-(ω+1)+abω+a^2}
=(a+b)(b^2-abω-ab+abω+a^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)
=a^3+b^3
(3)
同様に計算できます.
が, 因数分解を利用して, Q[ω]さんの投稿のように表す方が楽です.
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