数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 因数分解と部分分数の和に関する問題 / Page: 0]

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■41282 / inTopicNo.1)

　因数分解と部分分数の和に関する問題

□投稿者/ Issy 一般人(1回)-(2010/04/01(Thu) 00:27:36)

f(x)=x^5-3x^4+5x^3-5x^2+3x-1の時、①因数分解せよ　②(x^3-3x+3)/f(x)を部分分数の和に分解せよ。という問題です。①については、f(1)=0より、f(x)=(x-1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1)に因数分解できるのですが、さらに因数分解できるのでしょうか？　②については、部分分数の和に分解するポイントはどうすれば良いのでしょうか？すみませんが、よろしくお願いします。

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■41288 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 因数分解と部分分数の和に関する問題

▲▼■

□投稿者/ K.M. 一般人(2回)-(2010/04/01(Thu) 15:10:56)
http://www1.bbiq.jp/k_miyaga/

因数定理による因数分解はそれまでのようです。

(x^3-3x+3)/f(x) = a/(x-1) + (bx^3+cx^2+dx+f)/(x^4-2x^3+3x^2-2x+1)
とおいて、分母を払うと
右辺=a(x^4-2x^3+3x^2-2x+1)+(x-1)(bx^3+cx^2+dx+f)
展開して、整理すると
右辺=(a+b)x^4+(-2a+c-b)x^3+(3a+d-c)x^2+(-2a+f-d)x+(a-f)
係数を比べて
a+b=0
-2a+c-b=1
3a+d-c=0
-2a+f-d=-3
a-f=3
上から、順次b=-a 等として、求めると
a=1,b=-1,c=2,d=-1,f=-2 を得る。

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■41291 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 因数分解と部分分数の和に関する問題

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□投稿者/ Issy 一般人(2回)-(2010/04/01(Thu) 15:51:34)

K.M様ありがとうございました。どうも途中で計算間違いをしていたようです。今から再度計算してみます。

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■41307 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 因数分解と部分分数の和に関する問題

▲▼■

□投稿者/ 豆一般人(1回)-(2010/04/02(Fri) 09:20:08)

１番の第2因子は相反式なので、すっきりと因数分解できるかどうかは
やってみなければ分りませんが、
以下の変形はとりあえずやってみる必要があると思います。

x^4-2x^3+3x^2-2x+1=x^2(x^2-2x+3-2/x+1/x^2)
=x^2((x+1/x)^2-2-2(x+1/x)+3)
=x^2(x+1/x-1)^2
=(x^2-x+1)^2

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■41309 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 因数分解と部分分数の和に関する問題

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□投稿者/ さき一般人(5回)-(2010/04/02(Fri) 10:50:47)

豆様　ありがとうございます。さらに因数分解できるんですね。

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■41312 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 因数分解と部分分数の和に関する問題

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□投稿者/ K.M. 一般人(5回)-(2010/04/02(Fri) 16:09:16)
http://www1.bbiq.jp/k_miyaga/

豆さんの指摘のように因数分解ができるので、部分分数の分解も次のようになります；

(x^3-3x+3)/f(x)
=a/(x-1) + (bx+c)/(x^2-x+1)^2 + (dx+e)/((x^2-x+1)
分母を払うと
右辺=a(x^2-x+1)^2+(bx+c)(x-1)+(dx+e)(x-1)(x^2-x+1)
=. . . . . . .
=(a+d)x^4+(-2a+e-2d)x^3+(3a+b+2d-2e)x^2+(-2a+c-b+2e-d)x+(a-c-e)
係数を比べて、
a=1, b=1, c=-3, d=-1, e=1
したがって
1/(x-1) + (x-3)/(x^2-x+1)^2 - (x-1)/(x^2-x+1)
となる。途中入力ミスに注意し、計算は自分で確認する。

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■41346 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 因数分解と部分分数の和に関する問題

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□投稿者/ さき一般人(8回)-(2010/04/05(Mon) 14:29:39)

■No41312に返信(K.M.さんの記事)
> 豆さんの指摘のように因数分解ができるので、部分分数の分解も次のようになります；
>
> (x^3-3x+3)/f(x)
> =a/(x-1) + (bx+c)/(x^2-x+1)^2 + (dx+e)/((x^2-x+1)
> 分母を払うと
> 右辺=a(x^2-x+1)^2+(bx+c)(x-1)+(dx+e)(x-1)(x^2-x+1)
> =. . . . . . .
> =(a+d)x^4+(-2a+e-2d)x^3+(3a+b+2d-2e)x^2+(-2a+c-b+2e-d)x+(a-c-e)
> 係数を比べて、
> a=1, b=1, c=-3, d=-1, e=1
> したがって
> 1/(x-1) + (x-3)/(x^2-x+1)^2 - (x-1)/(x^2-x+1)
> となる。途中入力ミスに注意し、計算は自分で確認する。
>
K.M様いつも大変わかりやすいアドバイスありがとうございます。感謝申し上げます。

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