 | 2010/04/01(Thu) 22:58:15 編集(投稿者)
> 河合塾の解答では tan の加法定理から相加・相乗平均への流れでしたが
> なんとなくわかりにくかったので別解を考えてみました。
こんな感じの解答例ですかね。
最初は私も円と点の位置関係で解こうとしたんですが、途中で行き詰まったので、
すぐに三角関数に逃げてしまいました。一応、同じ答えは得られましたが・・・。
3つの点A(0, 1), B(0, 2), P(x, x)(x＞0)について、
2つの直線AP, BPがx軸の正の方向となす角をそれぞれα1, α2(−π／2＜α2＜α1＜π／2)とおくと、
直線APの傾きはtanα1＝(x−1)／x, 直線BPの傾きはtanα2＝(x−2)／xとなる。
ここで、三角形ABPを考えると、∠OAP＝∠APB＋∠ABPより、
∠APB(0°＜∠APB＜180°)＝∠OAP−∠ABP＝(α1＋90°)−(α2＋90°)＝α1−α2となるので、
tan∠APB＝tan(α1−α2)＝(tanα1−tanα2)／(1＋tanα1・tanα2)
＝{(x−1)／x−(x−2)／x}／{1＋(x−1)／x・(x−2)／x}＝x／(2x^2−3x＋2)となる。
ここで、x＞0, 2x^2−3x＋2＝2(x−3／4)^2＋7／8＞0なので、tan∠APB＞0となる。
さらに、tan∠APB＝1／{2(x＋1／x)−3}と表すことができ、
x＞0, 1／x＞0なので、相加平均と相乗平均の関係より、tan∠APB≦1／{2・2√(x・1／x)−3}＝1となり、
0＜tan∠APB≦1, 0°＜∠APB＜180°なので、x＞0, x＝1／xのとき、つまり、x＝1のとき、∠APBの最大値は45°である。
> 特定の２点を通り、動点の描く直線に接する円を考えれば解法として一般化できそうな気がします。
広く適用できるようにすることはできそうですね。
解法を進める上で絶妙なポイントとなった点(1, 1)への着目もすごいですが、
さらに解法の一般化を考えようと思うこと自体、もっとすごく思います。
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