 | m個の実数r(^1), r^2, r^3, ・・・の和が
r＋r^2＋r^3＋・・・＋r^m＝r(1−r^m)／(1−r)となることを用いると、
無限個の実数(1／2)^(n＋1), (1／2)^(n＋2), (1／2)^(n＋3), (1／2)^(n＋4), ・・・の和は
(1／2)^(n＋1)＋(1／2)^(n＋2)＋(1／2)^(n＋3)＋(1／2)^(n＋4)＋・・・
＝(1／2)^n・{(1／2)^1＋(1／2)^2＋(1／2)^3＋(1／2)^4＋・・・}
＝(1／2)^n・[(1／2)・{1−(1／2)^∞}／(1−1／2)]
＝(1／2)^n・[(1／2)・{1−(1／2)^∞}／(1／2)]
＝(1／2)^n・{1−(1／2)^∞}となります。
ここで、(1／2)^∞は正の数なので、1−(1／2)^∞＝1−(正の数)＜1となり、
(1／2)^(n＋1)＋(1／2)^(n＋2)＋(1／2)^(n＋3)＋(1／2)^(n＋4)＋・・・
＝(1／2)^n・{1−(1／2)^∞}
＜(1／2)^n・1
＝(1／2)^n
つまり、
(1／2)^(n＋1)＋(1／2)^(n＋2)＋(1／2)^(n＋3)＋(1／2)^(n＋4)＋・・・＜(1／2)^nとなります。
※ (1／2)^∞は、0に限りなく近い正の数です。((1／2)^∞＞0かつ(1／2)^∞≒0)
極限の考え方に基づいて(1／2)^∞＝0とすると、サボテンさんの投稿と同じ結果が得られます。
(1／2)^(n＋1)＋(1／2)^(n＋2)＋(1／2)^(n＋3)＋(1／2)^(n＋4)＋・・・
＝(1／2)^n・{1−(1／2)^∞}＝(1／2)^n・(1−0)＝(1／2)^n
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