| m個の実数r(^1), r^2, r^3, ・・・の和が r+r^2+r^3+・・・+r^m=r(1−r^m)/(1−r)となることを用いると、
無限個の実数(1/2)^(n+1), (1/2)^(n+2), (1/2)^(n+3), (1/2)^(n+4), ・・・の和は (1/2)^(n+1)+(1/2)^(n+2)+(1/2)^(n+3)+(1/2)^(n+4)+・・・ =(1/2)^n・{(1/2)^1+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+・・・} =(1/2)^n・[(1/2)・{1−(1/2)^∞}/(1−1/2)] =(1/2)^n・[(1/2)・{1−(1/2)^∞}/(1/2)] =(1/2)^n・{1−(1/2)^∞}となります。 ここで、(1/2)^∞は正の数なので、1−(1/2)^∞=1−(正の数)<1となり、 (1/2)^(n+1)+(1/2)^(n+2)+(1/2)^(n+3)+(1/2)^(n+4)+・・・ =(1/2)^n・{1−(1/2)^∞} <(1/2)^n・1 =(1/2)^n つまり、 (1/2)^(n+1)+(1/2)^(n+2)+(1/2)^(n+3)+(1/2)^(n+4)+・・・<(1/2)^nとなります。
※ (1/2)^∞は、0に限りなく近い正の数です。((1/2)^∞>0かつ(1/2)^∞≒0) 極限の考え方に基づいて(1/2)^∞=0とすると、サボテンさんの投稿と同じ結果が得られます。 (1/2)^(n+1)+(1/2)^(n+2)+(1/2)^(n+3)+(1/2)^(n+4)+・・・ =(1/2)^n・{1−(1/2)^∞}=(1/2)^n・(1−0)=(1/2)^n
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