数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 整数問題 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■41094 / inTopicNo.1)

　整数問題

▼■

□投稿者/ hiro 一般人(7回)-(2010/03/17(Wed) 13:52:28)

任意の整数nに対し,n^9-n^3は72で割り切れることを示せ。という問題で、あまりによって場合分けしようと思うのですが・・・。教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■41095 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ サボテン付き人(58回)-(2010/03/17(Wed) 14:02:47)

合同式は使わずに説明します。

n^9-n^3=n^3(n^3-1)(n^3+1)です。

72=2^3・3^2

nが偶数なら、n^3は2^3で割り切れます。
nが奇数ならn^3-1は2^3で割り切れます。

nが3の倍数なら、n^3は3^2で割り切れます。
nが3で割って1あまるならn^3-1は3^2で割り切れます。
nが3で割って2あまるなら、n^3+1は3^2で割り切れます。

よっていずれの場合も2^3・3^2で割り切れます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■41096 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ だるまにおんファミリー(172回)-(2010/03/17(Wed) 15:42:13)

■No41095に返信(サボテンさんの記事)
> nが奇数ならn^3-1は2^3で割り切れます。

n=3のとき、n^3-1=26は2^3でわれないような…。
n=5のときも、n^3-1=124は2^3でわれない気がします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■41098 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ サボテン付き人(61回)-(2010/03/17(Wed) 15:57:47)

あ・・・すみません。間違えましたね^^;

では
(n^3-1)(n^3+1)=(n^2-1)(nの多項式)
なので、nが奇数の時に、kを整数として、

n=4k±1なので、いずれの場合もn^2-1は2^3で割り切れます。

でいかがでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■41099 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ だるまにおんファミリー(173回)-(2010/03/17(Wed) 16:12:32)

nが奇数のとき、n^3-1とn^3+1は連続する偶数だから、一方は2でわれ、もう一方は4でわれるから、(n^3-1)(n^3+1)は2*4でわれる…など、いろいろありそうです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■41102 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(764回)-(2010/03/17(Wed) 16:57:22)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

(参考)
n^9-n^3
=(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
　+30(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)
　+147(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
　+84(n-1)n(n+1)

(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) は9!で割り切れる
30(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) は30*7!で割り切れる
147(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) は147*5!で割り切れる
84(n-1)n(n+1) は84*3!で割り切れる
9! と 30*7! と 147*5! と 84*3! の最大公約数は504なので、
n^9-n^3 は 504(=72*7) で割り切れます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター