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■40946 / inTopicNo.1) 　因数分解
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□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2010/02/22(Mon) 23:38:53)
    以下の因数分解の証明をご教授下さい。
    ｎを自然数として、
    a^n－b^n = (a－b){a^（n-1)+a^(n-2)･b+a^(n-3)･b^2+･････a.b^(n-2)+b^(n-1)}
    　
    数学的帰納法でと、考え、 k≧2として、n=k-1及びn=k のとき成立すると仮定して出来たつもりでいるのですが、自信がありません。よろしくお願いします。
    ちなみに、
    　a^(k+1)-b^(k+1)=(a^k-b^k)(a+b)-ab{a^(k-1)-b^(k-1)}　であるから、右辺に
    仮定した式を代入し、n=k+1の時も成立　としました。
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■40949 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 因数分解
□投稿者/ army 一般人(5回)-(2010/02/23(Tue) 09:02:52)
    ■No40946に返信(掛け流しさんの記事)
    > 以下の因数分解の証明をご教授下さい。
    > ｎを自然数として、
    > a^n－b^n = (a－b){a^（n-1)+a^(n-2)･b+a^(n-3)･b^2+･････a.b^(n-2)+b^(n-1)}
    > 　
    > 数学的帰納法でと、考え、 k≧2として、n=k-1及びn=k のとき成立すると仮定して出来たつもりでいるのですが、自信がありません。よろしくお願いします。
    > ちなみに、
    > 　a^(k+1)-b^(k+1)=(a^k-b^k)(a+b)-ab{a^(k-1)-b^(k-1)}　であるから、右辺に
    > 仮定した式を代入し、n=k+1の時も成立　としました。



    帰納法ではないですが、左辺の「・・・・」に注目しますと、
    これは公比b/aの等比数列です。初項a^(n-1)なので、その和は

    a^(n-1)*{1-(b/a)^n}/{1-(b/a)}

    この式の分母分子にaをかけると、(a^n-b^n)/(a-b)
    当然aとbが異なる数という下で考えています。

    これではだめでしょうか。
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■40952 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 因数分解
□投稿者/ miyup 大御所(1040回)-(2010/02/23(Tue) 23:43:52)
    2010/02/23(Tue) 23:45:04 編集(投稿者)

    ■No40946に返信(掛け流しさんの記事)
    > 以下の因数分解の証明をご教授下さい。
    > ｎを自然数として、
    > a^n－b^n = (a－b){a^（n-1)+a^(n-2)･b+a^(n-3)･b^2+･････a.b^(n-2)+b^(n-1)}
    > 　
    > 数学的帰納法でと、考え、 k≧2として、n=k-1及びn=k のとき成立すると仮定して出来たつもりでいるのですが、自信がありません。よろしくお願いします。
    > ちなみに、
    > 　a^(k+1)-b^(k+1)=(a^k-b^k)(a+b)-ab{a^(k-1)-b^(k-1)}　であるから、右辺に
    > 仮定した式を代入し、n=k+1の時も成立　としました。

    考え方はよいと思います。
    ただし、３項間の話になりますので n＝1, 2 の２つについて
    最初に示さなければなりません。
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■40953 / inTopicNo.4) 　Re[2]::armyさんありがとうございます。
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2010/02/24(Wed) 00:04:01)
    armyさん。早速のご返答ありがとうございます。
    直接法で一発ですね。ありがとうございました。

    ［1］a=b のとき、証明すべき等式の（左辺）=0,(右辺)=0 でOK
    ［2］a≠bのでさらに、
    　　(ⅰ)a=0のとき、(左辺)=-b^n,(右辺)=-b･b^(n-1)=-b^n でOK
    (ⅱ)a≠0のとき、＜armyさんの部分＞
    で、完了ですね。
    今後ともよろしくお願いします。
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■40954 / inTopicNo.5) 　Re[2]: 因数分解miyupさんありがとうございます。
□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2010/02/24(Wed) 00:11:59)
    miyupさん、ありがとうございます。
    私も、第一段階で n=1およびn=2のとき、成立することを示しました。
    今後ともご教授よろしくお願いします。
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■40958 / inTopicNo.6) 　指導されたみなさんが思ってた事でしょうが,
□投稿者/ 通行人 一般人(1回)-(2010/02/24(Wed) 23:03:10)
    証明する等式の右辺を展開して同類項をまとめるだけの証明でいいと思います.

    (a-b){a^(n-1)+a^(n-2)･b+a^(n-3)･b^2+･････a･b^(n-2)+b^(n-1)}

    =a{a^(n-1)+a^(n-2)･b+a^(n-3)･b^2+･････a･b^(n-2)+b^(n-1)}-b{a^(n-1)+a^(n-2)･b+a^(n-3)･b^2+･････a･b^(n-2)+b^(n-1)}

    ={a^n+a^(n-1)･b+a^(n-2)･b^2+･････a^2･b^(n-2)+a･b^(n-1)}-{a^(n-1)･b+a^(n-2)･b^2+a^(n-3)･b^3+･････a･b^(n-1)+b^n}

    =a^n-b^n

    ∴ a^n-b^n=(a-b){a^(n-1)+a^(n-2)･b+a^(n-3)･b^2+･････a･b^(n-2)+b^(n-1)} [終]
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■40960 / inTopicNo.7) 　通行人さん、ありがとうございます。
□投稿者/ 掛け流し 一般人(4回)-(2010/02/25(Thu) 20:02:00)
    通行人さん、ありがとうございます。
    ご指摘の通り、わざわざ難しく証明する必要はありませんでした。
    有限個の積の和ですものね。
    今後ともよろしくお願いします。
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