 | miyupさん、フォローをしていただき、ありがとうございます。
猫派さんは、書きました。
> α^(k＋2)＋β^(k＋2)を変形するのに(α＋β)(α^(k＋1)＋β^(k＋1))が
> いきなり出てきています。一体どこから持ってきたのでしょうか。
(α＋β)(α^(k＋1)＋β^(k＋1))でないといけないという事はありませんが、
できるだけ使用する時点で既知の式の値を用いる方が計算等が簡単になります。
ここでは、いきなりα^(k＋2)＋β^(k＋2)＝(α＋β)(α^(k＋1)＋β^(k＋1))−・・・という式変形を出した訳ではなく、
数学的帰納法自体、既知の内容から証明をコツコツと展開していく証明法なので、
「既知であるα＋β, αβの値と、数学的帰納法の途中で仮定したα^k＋β^k, α^(k＋1)＋β^(k＋1)を用いて、
α^(k＋2)＋β^(k＋2)の値を確かめる事ができないだろうか？」
と考え、α^(k＋2)＋β^(k＋2)を、α＋β, αβ, α^k＋β^k, α^(k＋1)＋β^(k＋1)を使った式で表したという次第です。
確かに、見た目はいきなりな感じがするかもしれませんが、
α＋βとαβの値が既知である時、α^2＋β^2をα＋β, αβを用いて表す事ができないかと考え、
((α＋β)^2＝α^2＋2αβ＋β^2なので、)α^2＋β^2＝(α＋β)^2−2αβ＝・・・と
α^2＋β^2の値を計算するのと発想は同じです。
解答Ｘさんは、書きました。
> こういう機転というかなんと言ったらいいか分かりませんが東大では普通なんでしょうか？
こういう式変形をヒラメキでポンと引っ張り出すような人もいるかもしれません。
が、高校数学の範囲で全く出くわさないような問題ではありませんので、
同様の方法を用いる問題を何回か解くと、解けるようになると思います。
(今回の問題では、注意するのは帰納法の進め方の方だと思います。)
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