 | armyさんとは縁がありますね(笑)
f(x)は適当な凸関数です。
今回のご質問ではf(x)は凸である必要はない気がします。
g(x)=max{xy-f(y)|y∈I}はyの値をIの中で動かした時、xy-f(y)の最大値です。
凸関数の定義はwikiに載ってますので、ご覧下さい。
g(x)が凸になることを示すスケッチを書いておきます。
2点x,X,t∈[0,1]に対し、
g(tx+(1-t)X))≦tg(x)+(1-t)g(X)
を示します。
左辺は、max{[tx+(1-t)X]y-f(y)|y∈I}です。この値を与えるyをy_mとします。
すると、g(tx+(1-t)X))=t[xy_m-f(y_m)]+(1-t)[Xy_m-f(y_m)]
g(x)の定義より、
[xy_m-f(y_m)]≦g(x)
[Xy_m-f(y_m)]≦g(X)
なので、示せました。
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