数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 整数問題（二項係数） / Page: 0]

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■40490 / inTopicNo.1)

　整数問題（二項係数）

□投稿者/ chii 一般人(1回)-(2010/01/06(Wed) 21:31:09)

2009年度東大の第１問です。
問題は以下のとおりです。
自然数m≧2に対し、m-1個の二項係数
　 $2$ _mC_1,_mC_2, \cdot \cdot \cdot ,_mC_{m-1}$
を考え、これらはすべての最大公約数をd_mとする。すなわちd_mはこれらすべてを割り切る最大の自然数である。
（１）mが素数ならば,d_m=mであることを示せ。
という問題の解答で $2$_mC_1$ =mで,mが素数であることから、d_mはmの約数、つまり、d_m=1またはd_m=mである。
と書いてあるのですが、d_m=1となることはあるのでしょうか？mが1以上だったら分かるのですが・・・
　よろしくお願いします。

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■40492 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数問題（二項係数）

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□投稿者/ だるまにおん軍団(119回)-(2010/01/06(Wed) 21:35:13)

>mが1以上だったら分かるのですが・・・

？

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■40497 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 整数問題（二項係数）

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□投稿者/ chii 一般人(2回)-(2010/01/06(Wed) 21:44:12)

■No40490に返信(chiiさんの記事)
> 2009年度東大の第１問です。
> 問題は以下のとおりです。
> 自然数m≧2に対し、m-1個の二項係数
> 　 $2$ _mC_1,_mC_2, \cdot \cdot \cdot ,_mC_{m-1}$
> を考え、これらはすべての最大公約数をd_mとする。すなわちd_mはこれらすべてを割り切る最大の自然数である。
> （１）mが素数ならば,d_m=mであることを示せ。
> という問題の解答で $2$_mC_1$ =mで,mが素数であることから、d_mはmの約数、つまり、d_m=1またはd_m=mである。
> と書いてあるのですが、d_m=1となることはあるのでしょうか？mが1以上だったら分かるのですが・・・
> 　よろしくお願いします。

ご回答ありがとうございます。「mが1以上だったら」という質問は問題にmが2以上とあるのでd_m=1はありえないのではないか、という質問です。わかりにくくてすみません。

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■40498 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 整数問題（二項係数）

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□投稿者/ だるまにおん軍団(121回)-(2010/01/06(Wed) 21:48:24)

m=6を考えてみてはいかがでしょうか？

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■40500 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 整数問題（二項係数）

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□投稿者/ chii 一般人(3回)-(2010/01/06(Wed) 22:01:55)

(1)の問題は「mが素数」という条件があるのでm=6はダメなのではないでしょうか。m=2やm=7を確認しましたが、最大公約数が1となることはないのですが・・・

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■40502 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 整数問題（二項係数）

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□投稿者/ だるまにおん軍団(123回)-(2010/01/06(Wed) 22:08:25)

2010/01/07(Thu) 14:31:52 編集(投稿者)

>（１）mが素数ならば,d_m=mであることを示せ。
この問題文にあるとおり、 $2$m$ が素数なら、 $2$d_{m}=m$ なので、 $2$d_{m}$ が $2$1$ になることはありません。

あなたの質問は、つまり、
>d_m=1またはd_m=mである。
の部分で、なぜ「d_m=1」が書いてあるのか？ということなのでしょうか？

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■40514 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 整数問題（二項係数）

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□投稿者/ chii 一般人(4回)-(2010/01/07(Thu) 16:31:20)

■No40502に返信(だるまにおんさんの記事)
> 2010/01/07(Thu) 14:31:52 編集(投稿者)
>
> >（１）mが素数ならば,d_m=mであることを示せ。
> この問題文にあるとおり、 $2$m$ が素数なら、 $2$d_{m}=m$ なので、 $2$d_{m}$ が $2$1$ になることはありません。
>
> あなたの質問は、つまり、
> >d_m=1またはd_m=mである。
> の部分で、なぜ「d_m=1」が書いてあるのか？ということなのでしょうか？

その通りです。質問の書き方が下手ですみません。

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■40517 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 整数問題（二項係数）

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□投稿者/ だるまにおん軍団(125回)-(2010/01/08(Fri) 09:56:03)

mC1=mで,mが素数であることから、d_mはmの約数、つまり、d_m=mである。

もし、解答が↑のように書いてあったとすると、あなたはコレを読んで、「なるほど！」と思えますか？

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■40519 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 整数問題（二項係数）

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□投稿者/ chii 一般人(5回)-(2010/01/08(Fri) 14:28:15)

■No40517に返信(だるまにおんさんの記事)
> mC1=mで,mが素数であることから、d_mはmの約数、つまり、d_m=mである。
>
> もし、解答が↑のように書いてあったとすると、あなたはコレを読んで、「なるほど！」と思えますか？

　「なるほど！」とは思えません。ちなみに解答は「鉄録会東大数学問題集」です。何度もありがとうございました。

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