 | 2009/12/11(Fri) 23:54:51 編集(投稿者)
立方体を真上から見下ろして、
上面の正方形□ : 左上, 左下, 右下, 右上の順に各頂点をa, b, c, d
下面の正方形□ : 左上, 左下, 右下, 右上の順に各頂点をe, f, g, h
として考える。
各頂点に1, 2, …, 8の数字を重複を許して割り当て、各面の頂点の数字の和が全て等しくなるとき、
a＋b＋c＋d＝e＋f＋g＋h＝a＋b＋f＋e＝c＋d＋h＋g＝a＋d＋h＋e＝b＋c＋g＋fが成り立ち、
a＋b＋c＋d＝c＋d＋h＋gより、a＋b＝g＋hとなり、
同様に、a＋d＝f＋g, a＋e＝c＋g, b＋c＝e＋h, b＋f＝d＋h, c＋d＝e＋fとなる。
さらに、a＋b＝g＋h, a＋d＝f＋g, a＋e＝c＋gより、a－g＝h－b＝c－e＝f－dなので、
a－g＝h－b＝c－e＝f－d＝tとすると、g＝a－t, b＝h－t, e＝c－t, d＝f－tが得られ、
各頂点に割り当てられる数字は8以下の自然数なので、
tを0以上の整数とすると、tに用いることができる値は0以上7以下の整数である。
tの値を与えてa, c, f, hの数字を決めることによってg, e, d, bの数字が決まるので、
以下、tの値とa, c, f, hの数字について考える。
0以上7以下の整数である定数tの値が与えられたとき、
a, c, f, hに割り当てることができる数字は、8, …, t＋1の、8－t通りあり、
立方体の回転を踏まえると、
n(＝8－t)通りの数字を用いたa, c, f, hへの数字の割り当て方は、
(以下の①～⑥では、p, q, r, sはn通りの数字のうち互いに異なる数字とする。)
① 数字pを4個用いるとき、割り当て方はn通り(n≧1),
② 数字pを3個, 数字qを1個用いるとき、割り当て方はnP2通り(n≧2),
③ 数字pを2個, 数字qを2個用いるとき、割り当て方はnC2通り(n≧2),
④ 数字pを2個, 数字qを1個, 数字rを1個用いるとき、nC3・3通り(n≧3),
⑤ t≠0で、数字pを1個, 数字qを1個, 数字rを1個, 数字sを1個用いるとき、nC4・2通り(4≦n≦7),
⑥ t＝0で、数字pを1個, 数字qを1個, 数字rを1個, 数字sを1個用いるとき、nC4通り(n＝8)なので、
tの値に対応した割り当て方は、
t＝7(n＝1)のとき、①＝1通り,
t＝6(n＝2)のとき、①＋②＋③＝5通り,
t＝5(n＝3)のとき、①＋②＋③＋④＝15通り,
t＝4(n＝4)のとき、①＋②＋③＋④＋⑤＝36通り,
t＝3(n＝5)のとき、①＋②＋③＋④＋⑤＝75通り,
t＝2(n＝6)のとき、①＋②＋③＋④＋⑤＝141通り,
t＝1(n＝7)のとき、①＋②＋③＋④＋⑤＝245通り,
t＝0(n＝8)のとき、①＋②＋③＋④＋⑥＝330通りとなり、
数字の割り当て方は、1＋5＋15＋36＋75＋141＋245＋330＝848通りである。
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