| 2009/12/11(Fri) 23:54:51 編集(投稿者)
立方体を真上から見下ろして、 上面の正方形□ : 左上, 左下, 右下, 右上の順に各頂点をa, b, c, d 下面の正方形□ : 左上, 左下, 右下, 右上の順に各頂点をe, f, g, h として考える。
各頂点に1, 2, …, 8の数字を重複を許して割り当て、各面の頂点の数字の和が全て等しくなるとき、 a+b+c+d=e+f+g+h=a+b+f+e=c+d+h+g=a+d+h+e=b+c+g+fが成り立ち、
a+b+c+d=c+d+h+gより、a+b=g+hとなり、 同様に、a+d=f+g, a+e=c+g, b+c=e+h, b+f=d+h, c+d=e+fとなる。
さらに、a+b=g+h, a+d=f+g, a+e=c+gより、a−g=h−b=c−e=f−dなので、 a−g=h−b=c−e=f−d=tとすると、g=a−t, b=h−t, e=c−t, d=f−tが得られ、 各頂点に割り当てられる数字は8以下の自然数なので、 tを0以上の整数とすると、tに用いることができる値は0以上7以下の整数である。
tの値を与えてa, c, f, hの数字を決めることによってg, e, d, bの数字が決まるので、 以下、tの値とa, c, f, hの数字について考える。
0以上7以下の整数である定数tの値が与えられたとき、 a, c, f, hに割り当てることができる数字は、8, …, t+1の、8−t通りあり、
立方体の回転を踏まえると、 n(=8−t)通りの数字を用いたa, c, f, hへの数字の割り当て方は、 (以下の@〜Eでは、p, q, r, sはn通りの数字のうち互いに異なる数字とする。) @ 数字pを4個用いるとき、割り当て方はn通り(n≧1), A 数字pを3個, 数字qを1個用いるとき、割り当て方はnP2通り(n≧2), B 数字pを2個, 数字qを2個用いるとき、割り当て方はnC2通り(n≧2), C 数字pを2個, 数字qを1個, 数字rを1個用いるとき、nC3・3通り(n≧3), D t≠0で、数字pを1個, 数字qを1個, 数字rを1個, 数字sを1個用いるとき、nC4・2通り(4≦n≦7), E t=0で、数字pを1個, 数字qを1個, 数字rを1個, 数字sを1個用いるとき、nC4通り(n=8)なので、
tの値に対応した割り当て方は、 t=7(n=1)のとき、@=1通り, t=6(n=2)のとき、@+A+B=5通り, t=5(n=3)のとき、@+A+B+C=15通り, t=4(n=4)のとき、@+A+B+C+D=36通り, t=3(n=5)のとき、@+A+B+C+D=75通り, t=2(n=6)のとき、@+A+B+C+D=141通り, t=1(n=7)のとき、@+A+B+C+D=245通り, t=0(n=8)のとき、@+A+B+C+E=330通りとなり、
数字の割り当て方は、1+5+15+36+75+141+245+330=848通りである。
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