数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: ガウスの定理 / Page: 0]

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■40117 / inTopicNo.1)

　ガウスの定理

▼■

□投稿者/ 電気屋一般人(1回)-(2009/12/02(Wed) 18:47:58)

次の式の計算過程を教えて下さい。

∬〔下端=S〕B↑d(s↑) = ∫∫∫〔下端=V〕div(B↑)dv

ただし、

S：閉曲面の面積
B↑：磁束密度
V：閉局面の体積

です。

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■40126 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ガウスの定理

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□投稿者/ army 一般人(14回)-(2009/12/03(Thu) 17:41:47)

■No40117に返信(電気屋さんの記事)
> 次の式の計算過程を教えて下さい。
>
>
> ∬〔下端=S〕B↑d(s↑) = ∫∫∫〔下端=V〕div(B↑)dv
>
> ただし、
>
> S：閉曲面の面積
> B↑：磁束密度
> V：閉局面の体積
>
> です。

ガウスの法則で検索すればいくらでも出てくると思いますが。
左辺＝Aとおいて、
dA＝B・ds
両辺をdVで割って、dA/dV＝B・ds/dV
dsとは、(dx,dy,dz)のことですよね？
ここではdV＝dxdydzとしてあります。
Bもx,y,z成分を持つベクトルの意味として解釈すると、
Bのx,y,zそれぞれについて、他2つの変数を固定して変化させたときのB・ds
の変化、つまりdAの変化を考えると、
dA＝｛B(x＋⊿x,y,z)-B(x,y,z)｝・dV/dx＋｛B(x,y＋⊿,z)-B(x,y,z)｝・dV/dy＋｛B(x,y,z＋⊿)-B(x,y,z)｝・dV/dz
右辺は明らかにdivBとdVの掛け算となっています。

さきほどdA＝B・dsとしてありましたから、上の式に代入して終わりです。

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■40127 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ガウスの定理

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□投稿者/ 電気屋一般人(2回)-(2009/12/03(Thu) 18:20:49)

ご回答、有難う御座います。

■No40126に返信(armyさんの記事)

> dsとは、(dx,dy,dz)のことですよね？

はい、そうです。

> 左辺＝Aとおいて、

Aは、ベクトルですか？
スカラーですか？

後、積分記号は、どのように解釈すればよろしいのでしょうか？

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■40135 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ガウスの定理

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□投稿者/ army 一般人(15回)-(2009/12/04(Fri) 14:27:59)

■No40127に返信(電気屋さんの記事)
> ご回答、有難う御座います。
>
> ■No40126に返信(armyさんの記事)
>
>
>>dsとは、(dx,dy,dz)のことですよね？
>
> はい、そうです。
>
>
>>左辺＝Aとおいて、
>
> Aは、ベクトルですか？
> スカラーですか？
>
>

ご自分でB・dsと書かれているとおり、これは内積ですのでスカラーです。
ベクトルでは式に意味不明なものになってしまいます。
> 後、積分記号は、どのように解釈すればよろしいのでしょうか？

ガウスの法則を勉強されているのですよね。閉曲面上の微小面積における
B・dsを、全体の面積で積分することが面積分で、これに真空の誘電率を
掛ければ電荷になりますよね。

積分記号は考えている閉曲面全体で面積分せよという意味です。左辺は体積分せよという意味です。

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■40137 / inTopicNo.5)

　Re[2]: ガウスの定理

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□投稿者/ サボテン一般人(19回)-(2009/12/04(Fri) 15:56:30)

横から失礼致します。
armyさんのご説明がよく分からないのですが・・・。
私の理解力不足でしょうか？

>dsとは、(dx,dy,dz)のことですよね？

dsは閉曲面の微小面積dSを大きさに持つ閉曲面の法線ベクトルです。
その意味で使われているでしょうか?

また

>dA＝｛B(x＋⊿x,y,z)-B(x,y,z)｝・dV/dx＋｛B(x,y＋⊿,z)-B(x,y,z)｝・dV/dy＋｛B(x,y,z＋⊿)-B(x,y,z)｝・dV/dz

と書かれていますが、これは正しいですか?

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■40141 / inTopicNo.6)

　Re[3]: ガウスの定理

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□投稿者/ army 一般人(16回)-(2009/12/04(Fri) 19:46:47)

だいぶ雑に記述してしまいました。ではきちんと説明します。

∬B↑d(s↑)
について、
ベクトル場B↑について、8点の（x,y,z）（x+⊿x,y,z）（x,y+
⊿y,z）（x,y,z+⊿z）（x+⊿x,y+⊿y,z）（x,y+⊿y,z+⊿z）（x+⊿x,y,z+⊿z）（x+⊿z,y+⊿y,z+⊿z）
を頂点とする直方体を考え、xがx+⊿xまで、yがy+⊿yまで、zがz+⊿zまで、それぞれ変化したときの∬B↑d(s↑) の変化量を考えます。

すると、B(x+⊿x,y,z)⊿s-B(x,y,z)⊿s＝{B(x+⊿x,y,z)-B(x,y,z)}/⊿x*⊿V
で、同様にy,zについても計算し、全てを足します。これが∬B↑d(s↑)の変化量の
和なので、これを⊿Aとすると

⊿A≒{B(x+⊿x,y,z)-B(x,y,z)}/⊿x*⊿V+
{B(x+⊿x,y,z)-B(x,y,z)}/⊿y*⊿V+
{B(x,y,z+⊿z)-B(x,y,z)}/⊿z*⊿V

で、両辺⊿Vで割って⊿Vを零に近づければ≒は＝になり、
dA/dV＝divBとなります。
よってA＝∫divBdVとなり、∬B↑d(s↑)の変化量をdAと置いていましたから、
A＝∬B↑d(s↑)なので、問題の式と一致します。

dsは面素片ベクトルです。「dsとは、(dx,dy,dz)のことですよね」は、誤解を生む
記述でした。失礼いたしました。

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