 | 2009/11/30(Mon) 00:57:44 編集(投稿者)
② すべての正の数xに対して、不等式√x＞alogxが成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。
関数f(x)＝√x－alogx(x＞0)について、
この導関数はf'(x)＝1／(2√x)－a／x＝(√x－2a)／(2x)となり、
i) a＜0のとき、
f'(x)＞0となるが、
lim[x→＋0]f(x)＝0＋(－a)・－∞＝－∞＜0なので、
x＞0について常にf(x)＞0とならない。
ii) a＝0のとき、
f'(x)＞0となり、
f(x)＝√x＞lim[x→＋0]f(x)＝0なので、
x＞0について常にf(x)＞0となる。
iii) a＞0のとき、
f'(4a^2)＝0, 0＜x＜4a^2でf'(x)＜0, x＞4a^2でf'(x)＞0なので、
f(x)≧f(4a^2)＝√(4a^2)－alog(4a^2)＝2a－2alog(2a)＝2a{1－log(2a)}となり、
x＞0について常にf(x)＞0となる場合、2a＜eより、0＜a＜e／2となる。
以上より、x＞0のとき、常に√x＞alogxが成り立つような定数aの値の範囲は0≦a＜e／2である。
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