数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 帰納法の問題 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■39963 / inTopicNo.1)

　帰納法の問題

▼■

□投稿者/ ももすけ一般人(1回)-(2009/11/16(Mon) 16:28:52)

１）　2^n * 2^n -1 (n>=1)　が３で割り切れる。
２）　2^n < n! (n >= 4)

上記１）、２）を数学的帰納法で説明しろという問題ですが
全然分かりません。
どなたか、アドバイスをお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39964 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ FUD 一般人(8回)-(2009/11/16(Mon) 18:27:31)

2009/11/17(Tue) 01:36:50 編集(投稿者)

■No39963に返信(ももすけさんの記事)
> １）　2^n * 2^n -1 (n>=1)　が３で割り切れる。
> ２）　2^n < n! (n >= 4)

1) $2$\{2^{2(n+1)}\,-\,1\}\,-\,\{2^{2n}\,-\,1\}\,=\,4\,\cdot\,2^{2n}\,-\,2^{2n}\,=\,3\,\cdot\,2^{2n}$ は 3 で割り切れる.
2) $2$2\,\cdot\,n! \,<\, (n+1)\,\cdot\,n! \,=\, (n+1)!$

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39967 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ ももすけ一般人(2回)-(2009/11/16(Mon) 19:13:16)

2^n*(^n)-1 　ここの間を　{(2^2(n+1)) -1}-2^n-1
2^n < n! 　ここの間を　2^n < n!

をもっと詳しく教えてくれませんでしょうか？
お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39968 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ ももすけ一般人(3回)-(2009/11/16(Mon) 19:15:36)

２）　2^n < n! 　ここの間を　2・n! < (n+1)・n!

の間違いでした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39969 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ WIZ 一般人(48回)-(2009/11/16(Mon) 19:36:47)

証明は、式変形で演繹するのではなく、数学的帰納法を使用するのですよね?

(1)
(1.1) n = 1の場合、(2^1)*(2^1)-1 = 3なので成立します。

(1.2) mを1以上の整数として、n = mの場合成立すると仮定します。
すなわち、kを整数として、(2^m)*(2^m)-1 = 3kであるものとします。
上記式の両辺を4倍して、
4*{(2^m)*(2^m)-1} = 4*3k
⇒ (2^(m+1))*(2^(m+1)-4 = 3*4k
⇒ (2^(m+1))*(2^(m+1)-1 = 3*(4k+1)
上記式からn = mの場合成立するならば、n = m+1の場合も成立することが分かります。

以上から、数学的帰納法により1以上の全ての整数nに対して題意が成立することが証明されました。

(2)
(2.1) n = 4の場合、2^4 = 16, 4! = 24ですから、2^4 < 4!は成立します。

(2.2) mを4以上の整数として、n = mの場合成立すると仮定します。
すなわち、2^m < m!であるものとします。
上記式の両辺に、正の整数m+1を掛けて、(m+1)*(2^m) < (m+1)*(m!) = (m+1)!となります。
2 < m+1ですから、2^(m+1) < (m+1)*(2^m) < (m+1)!となり、
n = mの場合成立するならば、n = m+1の場合も成立することが分かります。

以上から、数学的帰納法により4以上の全ての整数nに対して題意が成立することが証明されました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39970 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ FUD 一般人(9回)-(2009/11/16(Mon) 20:21:20)

2009/11/16(Mon) 20:37:18 編集(投稿者)

> ここの間を
続きならばともかく、間なんぞないが…。「 $2${2^{2n}-1}\,+\,3\,\cdot\,4^n \,=\, 2^{2(n+1)}\,-\,1$ で仮定から左辺は3で割り切れるから」とでも書けばわかったんだろうか、しかしこれだとどうやってその等式を導出したのかと言い出しそうだから止めたのだが。

それ以前に、

> １）　2^n * 2^n -1 (n>=1)　

$2$(2^n)^2$ や $2$2^{2n}$ でなく $2$2^n\,\cdot\,2^n$ と書いてるのは何か意図があるのか?

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39973 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ ももすけ一般人(5回)-(2009/11/16(Mon) 21:04:22)

■No39969に返信(WIZさんの記事)
> 証明は、式変形で演繹するのではなく、数学的帰納法を使用するのですよね?

レス有難うございます。
はい、そうです。

> 2 < m+1ですから、2^(m+1) < (m+1)*(2^m) < (m+1)!となり、
すみません、ここの部分がよく分からないので、
もう少し、教えて頂けませんでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39974 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ ももすけ一般人(6回)-(2009/11/16(Mon) 21:06:15)

> しかしこれだとどうやってその等式を導出したのかと言い出しそうだから止めたのだが。

どうやら、図星のようでうす。

> と書いてるのは何か意図があるのか?

単純に間違えました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39976 / inTopicNo.9)

　Re[3]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ 素直な感じで解答すると、一般人(1回)-(2009/11/16(Mon) 22:10:04)

数学的帰納法では、
③のところは、②の仮定から出発するよりも、問題文の式のｎをｍ＋１に置き換えた式から出発した方が考えやすいと思います。

１）　「ｎが１以上の整数のとき、４＾ｎ－１は３で割り切れる」
①　ｎ＝１のとき、ＯＫ（省略）
②　ｎ＝ｍ（ｍは１以上の整数）のとき、４＾ｍ－１が３で割り切れると仮定すると、４＾ｍ－１＝３ｋ（ｋは正の整数）
③　ｎ＝ｍ＋１のとき、４＾（ｍ＋１）－１＝４・４＾ｍ－１＝４・（３ｋ＋１）－１＝１２ｋ＋３＝３（４ｋ＋１）でＯＫ
　　　　（②より、４＾ｍ＝３ｋ＋１を利用）

２）　「ｎが４以上の整数のとき、２＾ｎ＜ｎ！」
①　ｎ＝４のとき、ＯＫ（省略）
②　ｎ＝ｍ（ｍは４以上の整数）のとき、２＾ｍ＜ｍ！と仮定
③　ｎ＝ｍ＋１のとき、２＾（ｍ＋１）－（ｍ＋１）！＝２・２＾ｍ－（ｍ＋１）・ｍ！＜２・ｍ！－（ｍ＋１）・ｍ！＝（１－ｍ）ｍ！＜０なので、
　　２＾（ｍ＋１）＜（ｍ＋１）！でＯＫ
　　　　（②と、ｍ≧４のとき１－ｍ＜０，ｍ！＞０を利用して、２＾（ｍ＋１）－（ｍ＋１）！＜０を示す。）

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39981 / inTopicNo.10)

　Re[3]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ FUD 一般人(11回)-(2009/11/16(Mon) 23:22:08)

2009/11/17(Tue) 01:38:27 編集(投稿者)

■No39973に返信(ももすけさんの記事)
> ■No39969に返信(WIZさんの記事)
>>証明は、式変形で演繹するのではなく、数学的帰納法を使用するのですよね?

1) $2$\{2^{2(m+1)}\,-\,1\}\,-\,\{2^{2m}\,-\,1\}\,=\,4\,\cdot\,2^{2m}\,-\,2^{2m}\,=\,3\,\cdot\,2^{2m}$ は $2$3$ で割り切れる. 帰納法の仮定より $2$2^{2m}-1$ は $2$3$ で割り切れるので $2$2^{2(m+1)}\,-\,1$ もそうである. $2$n\,=\,1$ のときは明らかなので略す.
2) 帰納法の仮定により $2$2^m\,<\,m!$ だから $2$2^{m+1}\,<\,2*m!$ , 一方 $2$2*m!\,<\,(m+1)*m!\,=\,(m+1)!$ ゆえに $2$2^{m+1}\,<\,(m+1)!$ . $2$n\,=\,4$ のときは明らか.

いずれも数学的帰納法によって示せた.

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39983 / inTopicNo.11)

　Re[4]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ 通りかかった人一般人(1回)-(2009/11/17(Tue) 00:29:18)

2009/11/17(Tue) 12:59:40 編集(投稿者)

FUDさんの、
> 1) [2^{2(m+1)}-1]-2^(2m)-1=…
は、
[2^{2(m+1)}-1]-{2^(2m)-1}=…です。

○-3の倍数=3の倍数だから ○は3の倍数
という示し方は、
「できる」人ならではの発想でしょう。
ふつうは思い浮かびません。スゴイです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39984 / inTopicNo.12)

　Re[5]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ FUD 一般人(12回)-(2009/11/17(Tue) 01:34:44)

2009/11/17(Tue) 01:43:10 編集(投稿者)
■No39983に返信(通りかかった人さんの記事)
> 2009/11/17(Tue) 00:32:17 編集(投稿者)
>
> FUDさんの、
>>1) [2^{2(m+1)}-1]-2^(2m)-1=…
> は、
> [2^{2(m+1)}-1]-{2^(2m)-1}=…です。
そうですすみません。いずれも括ったつもりでしたが、後者の "{", "}" に \ を前置し損ねたため表示されていませんでした。<del>あとで修正しておきます。</del>修正しました。ご指摘ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39993 / inTopicNo.13)

　Re[4]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ ももすけ一般人(7回)-(2009/11/17(Tue) 21:02:23)

①４＾（ｍ＋１）－１＝４・４＾ｍ－１

なぜ、4・4^m-1になるのでしょうか？

③　ｎ＝ｍ＋１のとき、２＾（ｍ＋１）－（ｍ＋１）！＝２・２＾ｍ－（ｍ＋１）・ｍ！＜２・ｍ！－（ｍ＋１）・ｍ！＝（１－ｍ）ｍ！＜０なので、
　　２＾（ｍ＋１）＜（ｍ＋１）！でＯＫ
　　　　（②と、ｍ≧４のとき１－ｍ＜０，ｍ！＞０を利用して、２＾（ｍ＋１）－（ｍ＋１）！＜０を示す。）

すいません、もう少し、詳しく教えて頂けませんでしょうか？
なぜ、このように展開出来るのかが、分かりません。
昨晩、考えましたが、分かりませんでした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39996 / inTopicNo.14)

　Re[5]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ すっとこどっこい付き人(69回)-(2009/11/17(Tue) 23:27:05)

> > ４＾（ｍ＋１）－１＝４・４＾ｍ－１
> なぜ、4・4^m-1になるのでしょうか？

指数法則a^(p＋q)＝a^p・a^qより、4^(m＋1)＝4^m・4^1＝4^m・4となります。

> > ｎ＝ｍ＋１のとき、
> > ２＾（ｍ＋１）－（ｍ＋１）！＝２・２＾ｍ－（ｍ＋１）・ｍ！＜２・ｍ！－（ｍ＋１）・ｍ！＝（１－ｍ）ｍ！＜０なので、
> > ２＾（ｍ＋１）＜（ｍ＋１）！でＯＫ
> > （②と、ｍ≧４のとき１－ｍ＜０，ｍ！＞０を利用して、２＾（ｍ＋１）－（ｍ＋１）！＜０を示す。）
> なぜ、このように展開出来るのかが、分かりません。

展開というほどの計算は最初だけです。ここでは条件付き不等式の証明を行なっています。

A＜Bを示すには、(小さい数から大きい数を引くと負の数になるから、)A－B＜0(A－Bは負の数になる)を示せばよいということです。

ここで示したいものは2^(m＋1)＜(m＋1)!ですから、2^(m＋1)－(m＋1)!を計算した結果が負の数になることを確かめています。

2^(m＋1)－(m＋1)!
　↓　指数法則より、2^(m＋1)＝2・2^m, 階乗の計算方法より、(m＋1)!＝(m＋1)・m!
＝2・2^m－(m＋1)・m!
　↓　②の2^m＜m!を用います。2^mをこれより大きい数m!に置き換えると、
　↓　引かれる数が大きくなるので、2・2^m－(m＋1)!の結果より大きくなります。
＜2・m!－(m＋1)・m!
　↓　分配法則より、AC－BC＝(A－B)C　(m!でくくります。)
＝(1－m)・m!
　↓　m≧4のとき、1－m＜0(1－mは負の数), 階乗の計算方法より、m!＞0(m!は正の数)となり、
　↓　(1－m)・m!は(負の数)×(正の数)なので、負の数になります。
＜0

2^(m＋1)－(m＋1)!＝…＜…＝…＜0なので、2^(m＋1)－(m＋1)!＜0ですね。
引き算をして負の数になるので、引かれる数2^(m＋1)は引く数(m＋1)!より小さい。
つまり、2^(m＋1)＜(m＋1)!が成り立つことになります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■39998 / inTopicNo.15)

　Re[6]: 帰納法の問題

▲▼■

□投稿者/ ももすけ一般人(8回)-(2009/11/18(Wed) 22:01:36)

有難うございまいした。
大変、よく理解することができました。

また、お願いいたします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター