□投稿者/ WIZ 一般人(48回)-(2009/11/16(Mon) 19:36:47)
 | 証明は、式変形で演繹するのではなく、数学的帰納法を使用するのですよね?
(1)
(1.1) n = 1の場合、(2^1)*(2^1)-1 = 3なので成立します。
(1.2) mを1以上の整数として、n = mの場合成立すると仮定します。
すなわち、kを整数として、(2^m)*(2^m)-1 = 3kであるものとします。
上記式の両辺を4倍して、
4*{(2^m)*(2^m)-1} = 4*3k
⇒ (2^(m+1))*(2^(m+1)-4 = 3*4k
⇒ (2^(m+1))*(2^(m+1)-1 = 3*(4k+1)
上記式からn = mの場合成立するならば、n = m+1の場合も成立することが分かります。
以上から、数学的帰納法により1以上の全ての整数nに対して題意が成立することが証明されました。
(2)
(2.1) n = 4の場合、2^4 = 16, 4! = 24ですから、2^4 < 4!は成立します。
(2.2) mを4以上の整数として、n = mの場合成立すると仮定します。
すなわち、2^m < m!であるものとします。
上記式の両辺に、正の整数m+1を掛けて、(m+1)*(2^m) < (m+1)*(m!) = (m+1)!となります。
2 < m+1ですから、2^(m+1) < (m+1)*(2^m) < (m+1)!となり、
n = mの場合成立するならば、n = m+1の場合も成立することが分かります。
以上から、数学的帰納法により4以上の全ての整数nに対して題意が成立することが証明されました。
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