 | 別解
x^2+(3y-3)x+(2y^2-5y+k) = 0とおいて、2次方程式の解の公式を用いれば、
x = {-(3y-3)±√{(3y-3)^2-4*(2y^2-5y+k)}}/2 = {-(3y-3)±√{y^2+2y+(9-4k)}}/2
上記でxがyの1次式となるためには、y^2+2y+(9-4k)がyの1次式の平方であることが必要です。
よって判別式、1^2-(9-4k) = 0 ⇒ k = 2となることは必要条件です。
必要条件が満たされないk ≠ 2場合は、x^2+(3y-3)x+(2y^2-5y+k) = 0が解として、
x = {yの1次式}となりませんので、Pはx, yの1次式の積とはなりません。
> また、多項式を複素数のはんいまで因数分解したときに、因数分解した結果は一通りしかないのでしょうか？
何をもって「因数分解が何通り」と数えるかによります。
例えば、x^2-y^2 = (x-y)(x+y) = (-x+y)(-x-y) = (x/2-y/2)(2x+2y)など、
色々な因数分解(?)を考えることができます。
x-y, -x+y, x/2-y/2を違うものと見なせば、無限通り(?)の結果があることになります。
但し、-x+y = -1*(x-y), x/2-y/2 = (1/2)*(x-y)など定数倍になっているので、
任意の多項式は0以外の定数で割り切れますから、0以外の定数倍を度外視すれば1通りの結果になるかもしれません。
詳細は体や環という数学的概念、多項式環などを勉強されると良いと思います。
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