数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 確率です / Page: 0]

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■39617 / inTopicNo.1)

　確率です

□投稿者/ 某高校の受験生一般人(4回)-(2009/10/08(Thu) 23:03:13)

　kを2以上の整数とする。1つの硬貨を繰り返し投げて、表の出た回数がk回になるか、あるいは裏の出た回数がk回になった時点で終了する。
k≦n≦2k－1を満たす整数nに対して、ちょうどn回で終了する確率をP_nとする。

P_nを求めよ。

答えとあわないです↓↓
どなたか解説おねがいいたします。

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■39623 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 確率です

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(915回)-(2009/10/09(Fri) 12:34:57)

2009/10/09(Fri) 12:55:02 編集(投稿者)

■No39617に返信(某高校の受験生さんの記事)
>
> 　kを2以上の整数とする。1つの硬貨を繰り返し投げて、表の出た回数がk回になるか、あるいは裏の出た回数がk回になった時点で終了する。
> k≦n≦2k－1を満たす整数nに対して、ちょうどn回で終了する確率をP_nとする。
>
> P_nを求めよ。
>
> 答えとあわないです↓↓
> どなたか解説おねがいいたします。

解説ということは、模範解答を見てもわからなかったということですか？
あなたの間違えた答がなければ、指摘のしようがありません。

解答は P[n]＝[n-1]C[k-1]・(1/2)^(n-1) でいいですか？

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■39628 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 確率です

▲▼■

□投稿者/ WIZ 一般人(18回)-(2009/10/10(Sat) 09:54:09)

k, nは自然数でk ≦ nとするとき、n回投げてk回表が出る確率は、nCk/(2^n)です。
同様に、n回投げてk回裏が出る確率も、nCk/(2^n)です。

n ≦ 2k-1ですので、「n回投げてk回表が出る」事象と「n回投げてk回裏が出る」事象は独立です。
# 1つの事象でk回表が出て、かつk回裏が出るためには、n ≧ 2kである必要があります。

よって、P[n] = nCk/(2^n)+nCk/(2^n) = nCk/(2^(n-1))

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■39634 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 確率です

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(917回)-(2009/10/11(Sun) 10:45:35)

■No39628に返信(WIZさんの記事)
> k, nは自然数でk ≦ nとするとき、n回投げてk回表が出る確率は、nCk/(2^n)です。
> 同様に、n回投げてk回裏が出る確率も、nCk/(2^n)です。
>
> n ≦ 2k-1ですので、「n回投げてk回表が出る」事象と「n回投げてk回裏が出る」事象は独立です。
> # 1つの事象でk回表が出て、かつk回裏が出るためには、n ≧ 2kである必要があります。
>
> よって、P[n] = nCk/(2^n)+nCk/(2^n) = nCk/(2^(n-1))

WIZさんへ：
「表の出た回数がk回になるか、あるいは裏の出た回数がk回になった時点で終了する。」
とあります。
n回投げてk回表が出る確率 nCk/(2^n) には、終了条件が入っていません。
n回投げる前にk回表が出ると、その時点で終了（結局n回投げられない）です。

よって、考え方としては
n-1回投げてk-1回表が出て、最後（n回目）に表（k回目）が出る、となります。
すなわち
P[n]＝{[n-1]C[k-1]・(1/2)^(n-1)}・1/2＋{[n-1]C[k-1]・(1/2)^(n-1)}・1/2
　　＝[n-1]C[k-1]・(1/2)^(n-1)

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■39635 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 確率です

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□投稿者/ WIZ 一般人(20回)-(2009/10/11(Sun) 12:56:14)

miyupさん、ご指摘ありがとうございます。
某高校の受験生さん、間違ったことを書いてしまい申し訳ありません。

細かく言うと場合の数は、

(1) n-1 = 2(k-1)の場合
「n-1回投げてk-1回表が出る」事象と「n-1回投げてk-1回裏が出る」事象は常に同時に発生することになります。
n-1回まで投げたときの場合の数は[n-1]C[k-1]となり、n回目は表裏のどちらが出ても良いので、
n回まで投げたときの場合の数は([n-1]C[k-1])*2となり、P[n] = [n-1]C[k-1]/(2^(n-1))

(2) k ≦ n < 2k-1の場合
「n-1回投げてk-1回表が出る」事象と「n-1回投げてk-1回裏が出る」事象は同時には発生しません。
「n-1回投げてk-1回表が出る」の場合は、n回目に表が出る必要があり、
「n-1回投げてk-1回裏が出る」の場合は、n回目に裏が出る必要がありますので、
n回まで投げたときの場合の数は([n-1]C[k-1])*1+([n-1]C[k-1])*1となり、P[n] = ([n-1]C[k-1])/(2^(n-1))

いずれもmiyupさんの解答通りとなります。

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■39636 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 確率です

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□投稿者/ 某高校の受験生一般人(5回)-(2009/10/11(Sun) 18:59:01)

2009/10/11(Sun) 19:02:28 編集(投稿者)

ありがとうございます。

もともとは先生(塾)が授業で解説してくれた問題です。

解説によると最後のところが
[n-1]C[k-1]・(1/2)^(n)となっていたんですよ。
やっぱりこれっておかしいですよね。

近々、この先生の授業があるので、おかしいということを指摘してみます。

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