 | 2009/09/18(Fri) 00:58:03 編集(投稿者)
■No39443に返信(あなごさんの記事)
> -1<t<1を満たすtに対して、xy平面上の直線y=tと楕円C:x^2/4+y^2=1の交点
> Q(-s,t),R(s,t)(s>0)とする。点P(0,1)に対して、△PQRの面積をS(t)とするとき
> (1)S(t)を求めよ。また、-1<t<1におけるS(t)の最大値とそのときの点Rの座標を求めよ。
s^2/4+t^2=1 より s=2√(1-t^2)。よって、S(t)=s(1-t)=2(1-t)√(1-t^2)。
S'(t)=2(2t+1)(t-1)/√(1-t^2) で増減表より t=-1/2 でS(t)最大。
> (2)(1)で求めた点Rにおける楕円Cの接線lとx軸との交点をTとするとき、cos∠PRTの値を求めよ。
R(√3,-1/2)におけるＣの接線は、y'=-x/(4y) より y=√3/2・(x-√3)-1/2。
これとｘ軸との交点は T(4/√3,0)で、↑RP,↑RT の内積から、cos∠PRT=-1/7。
> (3)楕円Cで囲まれる図形は直線PRによって2つの部分に分割される。このうち原点が属さない方の面積を、(1)で求めた点Rに対して求めよ。
yについての定積分で面積を求める。
直線PR：y=-√3/2・x+1 より x=2/√3・(1-y)
楕円Ｃ(x≧0 の部分)：x=2√(1-y^2)
求める面積は
∫[-1/2→1]{2√(1-y^2)-2/√3・(1-y)}dy＝2π/3-1/√3。←計算間違いがなければ…
|
