数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 場合の数の問題 / Page: 0]

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■39325 / inTopicNo.1)

　場合の数の問題

□投稿者/ 疾風一般人(1回)-(2009/08/23(Sun) 10:50:40)

解説お願いします。

平面上に、正八角形があり、各頂点を時計回りに１、２・・・・、８とする。このとき、任意の頂点同士を線分で結び、正八角形の内部を分割することを考える。

（１）正八角形の内部を2本の線分で４つに分割する方法は何通りあるか？
（２）正八角形の内部を2本の線で３つに分割する方法は何通りあるか？

答えは（１）７０（２）４０らしいのですが、よくわかりません。

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■39334 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 場合の数の問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(652回)-(2009/08/23(Sun) 14:35:18)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

(1)8頂点から4つ選んで対角線を結べば良いので8C4通り
(2)
最小の三角形が含まれるパターン
1と3を結ぶものとします。
3,4,5,6,7,8,1から2点選ぶ方法が7C2=21通り
そのうち2点が隣り合うのが6通り
1と3を選んでしまうのが1通り
よって3つに分割されるのは21-6-1=14通り
このうち5通りは最小の三角形が２つになりますので、
単純に8倍すると2倍数えてしまいます。
よって最小の三角形が含まれるパターンは
(14-5)×8+5×8÷2=92通り
最小の三角形が含まれないパターン
1と4を結ぶものとします。
残りの線の引き方は4-7,4-8,5-8,5-1,6-1の5通り
このうち3通りは同じ大きさの等脚台形２つになりますので、
最小の三角形が含まれないパターンは
(5-3)×8+3×8÷2=28通り
従って全部で 92+28=120通り

※「２つの線分で同一の頂点を使わない」という条件があれば
　答えは40通りになりますが、問題からはそのような条件は読み取れませんので
　もし答えが40通りとなっているのであれば問題不備または解答の誤りです。

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■39341 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 場合の数の問題

▲▼■

□投稿者/ 疾風一般人(1回)-(2009/08/23(Sun) 19:48:45)

ありがとうございました。

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■39342 / inTopicNo.4)

　Re[3]: (2)の120通りの別解です。

▲▼■

□投稿者/ すっとこどっこい一般人(48回)-(2009/08/23(Sun) 22:04:42)

正八角形の内部を2本の線で分割する作業は、
正八角形の対角線を2本選ぶ作業をすればよいことになります。

正八角形の対角線の本数は[8]C[2]－8＝20本で、

このうち2本の対角線を選ぶ方法は[20]C[2]＝190通りあります。

正八角形で2本の対角線を選ぶと、正八角形の内部は3つまたは4つに分割されますが、

このうち4つに分割されるのは(1)より70通りあるので、

正八角形の内部を2本の線で3つに分割する方法は、190－70＝120通りとなります。

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■39343 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 場合の数の問題

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□投稿者/ 疾風一般人(2回)-(2009/08/24(Mon) 00:33:45)

２つの線分で同一の頂点を使わない

という条件で求めたら40になるのですか！

答えはあってると思うので、
たぶん問題に不足があったと思います。

この条件があったら
どのようにとけばいのでしょうか？

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■39345 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 場合の数の問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(655回)-(2009/08/24(Mon) 00:44:47)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

すっとこどっこいさんの別解の方が早いのでその方法にしますが、
2本の対角線を選ぶ方法が190通り
その2本の対角線が交差するのは(1)から70通り
2本の対角線が1頂点を共有するのは
(共有点8通り)×(対角線5本中2本選択)=8×5C2=80
よって190-70-80=40通り

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■39346 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 場合の数の問題

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□投稿者/ 疾風一般人(3回)-(2009/08/24(Mon) 00:48:00)

わかりました！
ありがとうございました。

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■39638 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 場合の数の問題

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□投稿者/ ss 一般人(2回)-(2009/10/11(Sun) 21:15:53)
http://lkjhg.net/

■No39325に返信(疾風さんの記事)
> 解説お願いします。
>
> 平面上に、正八角形があり、各頂点を時計回りに１、２・・・・、８とする。このとき、任意の頂点同士を線分で結び、正八角形の内部を分割することを考える。
>
> （１）正八角形の内部を2本の線分で４つに分割する方法は何通りあるか？
> （２）正八角形の内部を2本の線で３つに分割する方法は何通りあるか？
>
>
> 答えは（１）７０（２）４０らしいのですが、よくわかりません。

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