 | ウ〜クまで、答えの分母と分子が全て逆になっています。
(分数の表現は、「分子／分母」です。)
四面体の体積を求めるときは、四面体の概形を考える必要がありますが、
それ以外は図などを書かなくても解くことができます。
準備
|↑a|＝|↑c|＝1, |↑b|＝2, ↑a・↑c＝0, ↑b・↑c＝0で、
また、|↑a|＝1, |↑b|＝2, cos∠AOB＝−1／4より、↑a・↑b＝・・・である。
1)
点Dは線分ABをk:1−k(ただし、0≦k≦1)の比に内分する点であるとすると、
↑OD＝(1−k)・↑a＋k・↑bと表すことができ、
OD⊥ABより、・・・(kを使った式)＝・・・となるので、k＝・・・ ← 垂直であればベクトルの内積が…
kの値が求まれば、k:1−k＝ア:イとなり、|↑OD|＝√(↑OD・↑OD)＝・・・＝ウとなります。
四面体OABCの体積は、三角形OABを底面とすると、・・・が高さとなるので、
V＝1／3・三角形OABの面積・高さ＝…＝エとなります。 ← 数学Iの三角形の面積の公式を用います。
2)
点Eは3点A, B, Cを含む平面上に存在するので、
↑OE＝s・↑a＋t・↑b＋u・↑c(ただし、s＋t＋u＝1)とおくと、 ← 2)のPointでしょう。
OE⊥・・・, OE⊥・・・, OE⊥・・・なので、
・・・(s, tを使った式)＝・・・…(1), ← 1)と同様です。
・・・(s, t, uを使った式)＝・・・…(2), ← 1)と同様です。
・・・(s, t, uを使った式)＝・・・…(3)となり、 ← 1)と同様です。
(1), (2), (3)より、s＝・・・(tを使った式), u＝・・・(tを使った式)で、 ← s, t, uについての連立方程式を解きます。
s＋t＋u＝・・・＝1なので、s＝オ, t＝カ, u＝キとなります。
↑OD, ↑OEがわかれば、
↑DC＝↑OC−↑OD＝・・・(分数と、↑a, ↑b, ↑cの1次式の積の形にするのがいいでしょう。),
↑DE＝↑OE−↑OD＝・・・(分数と、↑a, ↑b, ↑cの1次式の積の形にするのがいいでしょう。)より、
↑DC：↑DE＝・・・＝ク:1
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