| ウ〜クまで、答えの分母と分子が全て逆になっています。 (分数の表現は、「分子/分母」です。)
四面体の体積を求めるときは、四面体の概形を考える必要がありますが、 それ以外は図などを書かなくても解くことができます。
準備 |↑a|=|↑c|=1, |↑b|=2, ↑a・↑c=0, ↑b・↑c=0で、 また、|↑a|=1, |↑b|=2, cos∠AOB=−1/4より、↑a・↑b=・・・である。
1)
点Dは線分ABをk:1−k(ただし、0≦k≦1)の比に内分する点であるとすると、 ↑OD=(1−k)・↑a+k・↑bと表すことができ、 OD⊥ABより、・・・(kを使った式)=・・・となるので、k=・・・ ← 垂直であればベクトルの内積が…
kの値が求まれば、k:1−k=ア:イとなり、|↑OD|=√(↑OD・↑OD)=・・・=ウとなります。
四面体OABCの体積は、三角形OABを底面とすると、・・・が高さとなるので、 V=1/3・三角形OABの面積・高さ=…=エとなります。 ← 数学Iの三角形の面積の公式を用います。
2)
点Eは3点A, B, Cを含む平面上に存在するので、 ↑OE=s・↑a+t・↑b+u・↑c(ただし、s+t+u=1)とおくと、 ← 2)のPointでしょう。 OE⊥・・・, OE⊥・・・, OE⊥・・・なので、 ・・・(s, tを使った式)=・・・…(1), ← 1)と同様です。 ・・・(s, t, uを使った式)=・・・…(2), ← 1)と同様です。 ・・・(s, t, uを使った式)=・・・…(3)となり、 ← 1)と同様です。 (1), (2), (3)より、s=・・・(tを使った式), u=・・・(tを使った式)で、 ← s, t, uについての連立方程式を解きます。 s+t+u=・・・=1なので、s=オ, t=カ, u=キとなります。
↑OD, ↑OEがわかれば、 ↑DC=↑OC−↑OD=・・・(分数と、↑a, ↑b, ↑cの1次式の積の形にするのがいいでしょう。), ↑DE=↑OE−↑OD=・・・(分数と、↑a, ↑b, ↑cの1次式の積の形にするのがいいでしょう。)より、 ↑DC:↑DE=・・・=ク:1
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