 | 2009/07/24(Fri) 18:52:35 編集(投稿者)
■No39120に返信(フルコースさんの記事)
> 放物線y^2=4px(p>0)上に４点があり、それらをy座標の大きい順にA,B,C,Dとする。
> 線分ACとBDは、放物線の焦点Fで垂直に交わっている。ベクトルFA↑がx軸の正の方向となす角をθとする。
> (1)線分AFの長さをpとθを用いてあらわせ。
AF＝r とおくと A(p+rcosθ,rsinθ)
放物線の式に代入
(rsinθ)^2＝4p(p+rcosθ)
(sinθ)^2・r^2-4pcosθ・r-4p^2＝0
よって
r＝{2pcosθ±√(4p^2(cosθ)^2+4p^2(sinθ)^2)}/(sinθ)^2
＝2p(cosθ±1)/(sinθ)^2
r＞0より
r＝2p(cosθ+1)/{1-(cosθ)^2}
＝2p/(1-cosθ)
>(2)1/(AF・CF)+1/(BF・DF)はθによらず、一定であることを示し、その値をpを用いてあらわせ。
AF＝2p/(1-cosθ)より
BF＝2p/{1-cos(θ+π/2)}＝2p/(1+sinθ)
CF＝2p/{1-cos(θ+π)}＝2p/(1+cosθ)
DF＝2p/{1-cos(θ+3π/2)}＝2p/(1-sinθ)
よって
1/(AF・CF)+1/(BF・DF)＝1/(4p^2)
となり、θによらず一定である。
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