| 2009/07/24(Fri) 18:52:35 編集(投稿者)
■No39120に返信(フルコースさんの記事) > 放物線y^2=4px(p>0)上に4点があり、それらをy座標の大きい順にA,B,C,Dとする。 > 線分ACとBDは、放物線の焦点Fで垂直に交わっている。ベクトルFA↑がx軸の正の方向となす角をθとする。 > (1)線分AFの長さをpとθを用いてあらわせ。
AF=r とおくと A(p+rcosθ,rsinθ) 放物線の式に代入 (rsinθ)^2=4p(p+rcosθ) (sinθ)^2・r^2-4pcosθ・r-4p^2=0 よって r={2pcosθ±√(4p^2(cosθ)^2+4p^2(sinθ)^2)}/(sinθ)^2 =2p(cosθ±1)/(sinθ)^2 r>0より r=2p(cosθ+1)/{1-(cosθ)^2} =2p/(1-cosθ)
>(2)1/(AF・CF)+1/(BF・DF)はθによらず、一定であることを示し、その値をpを用いてあらわせ。
AF=2p/(1-cosθ)より BF=2p/{1-cos(θ+π/2)}=2p/(1+sinθ) CF=2p/{1-cos(θ+π)}=2p/(1+cosθ) DF=2p/{1-cos(θ+3π/2)}=2p/(1-sinθ) よって 1/(AF・CF)+1/(BF・DF)=1/(4p^2) となり、θによらず一定である。
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