数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 確率 / Page: 0]

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■39073 / inTopicNo.1)

　確率

□投稿者/ キスカ一般人(4回)-(2009/07/21(Tue) 15:34:37)

A君は、はじめ赤球を1個もっている。A君は、赤球1個、青球1個、白球4個が
入っている箱の中から1個の球を取り出し、持っていた球と交換する。
この操作をｎ回繰り返した後、A君が赤球、青球、白球を持っている確率を
それぞれａ1　ｂ1　Ｃ1　とする。
１）ａ1　ｂ1　Ｃ1　をそれぞれ求めよ。
２）ａｎ+1（ｎ+1は小文字でセットになってます）を
　　ａｎ　ｂｎ　Ｃｎをもちいてあらわせ。
３）ａｎを求めよ。

１）はそれぞれ、左から１/６　１/６　２/３かなとおもったんですが
２）から全然わかりません。
　　１－（ａｎ+ｂｎ+Ｃｎ）を使うのかなというところまでは
　　考えたんですが、これからどうすればいいでしょう？
３）については手も足も出ていません・・・

さっぱりわからないのでどうしてそうなるのかも
教えてくださるとうれしいです。
お願いします！

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■39074 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 確率

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□投稿者/ KINO 付き人(50回)-(2009/07/22(Wed) 03:32:19)

2009/07/22(Wed) 16:04:21 編集(投稿者)

1) はそれでよさそうです。

2) A 君が赤球をもっているとき，次に交換したとき赤球を手にする確率は
1) で求めたように 1/6 です。

A 君が青球を持っているとき，次に交換したときに赤球を手にする確率は，
箱にあるのが赤2，白4なので1/3です。

A 君が白球を持っているときはどうなりますか。

ここまでわかれば，あとは積の法則と和の法則を組み合わせます。

n+1 回目の操作で赤球を手にするのは，
n 回目に赤球を持っていて，n+1 回目に赤球を持つ，
n 回目に青球を持っていて，n+1 回目に赤球を持つ，
n 回目に白球を持っていて，n+1 回目に赤球を持つ，
という互いに排反な3つの事象の和なので，確率はそれぞれの確率の和になります。

n 回目に赤球を持っていて，n+1 回目に赤球を持つ確率は，積の法則から
an×1/6 と計算できます。

n 回目に青球を持っていて n+1 回目に赤球を持つ確率は bn×1/3 です。

n 回目に白球を持っていて n+1 回目に赤球を持つ確率はどうなりますか。

それがわかれば $2$a_{n+1}$ の式が得られます。

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■39077 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 確率

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□投稿者/ miyup 大御所(880回)-(2009/07/22(Wed) 09:45:55)

■No39074に返信(KINOさんの記事)
> n 回目に赤球を持っていて，n+1 回目に赤球を持つ，
> n 回目に赤球を持っていて，n+1 回目に青球を持つ，
> n 回目に赤球を持っていて，n+1 回目に白球を持つ，

n 回目と n+1 回目の色が逆になっています。

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■39078 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 確率

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□投稿者/ KINO 付き人(51回)-(2009/07/22(Wed) 16:05:05)

ご指摘ありがとうございます。
訂正しておきました。

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■39082 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 確率

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□投稿者/ キスカ一般人(7回)-(2009/07/22(Wed) 19:11:18)

2）言われたとおりにやってみたところ、
an+1 =1/6an +　1/3ｂn　+　1/3Cn
になりました！
ただ、３）からまたわからなくなってしまい・・・
ふつうにan+1 =1/6an +　1/3ｂn　+　1/3Cn
の式をan =1/6an-1 +　1/3ｂn-1　+　1/3Cn-1
にしてはｂn　Cnが残ってしまうからダメ…ですよね？
とりあえず
ｎ＋１回のとき青球を持っている確率を求めてみたら
ｂn＋1＝１/６an+１/６Cnに、
ｎ＋１回のとき青球を持っている確率を求めてみたら
Cn＋1＝２/３an+ ２/３ｂn　+　１/２Cnになりました。
でもここからどうすればいいのか見当つかず…＞＜；

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■39091 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 確率

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□投稿者/ miyup 大御所(882回)-(2009/07/23(Thu) 10:44:37)

2009/07/23(Thu) 10:52:03 編集(投稿者)

例えば以下のようにできます。

a[1]＝b[1]＝1/6、c[1]＝4/6 で

①：a[n+1]＝1/6・a[n]+2/6・b[n]+2/6・c[n]
②：b[n+1]＝1/6・a[n]　　　　　　+1/6・c[n]
③：c[n+1]＝4/6・a[n]+4/6・b[n]+3/6・c[n]

4×②-③ として c[n]＝4b[n]
これを①②に代入

④：a[n+1]＝1/6・a[n]+10/6・b[n]
⑤：b[n+1]＝1/6・a[n]+ 4/6・b[n]

④-2×⑤ として ⑥：a[n]-2b[n]＝(-1/6)^n
④+5×⑤ として ⑦：a[n]+5b[n]＝1

(5×⑥+2×⑦)/7 として a[n]＝5/7・(-1/6)^n + 2/7

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■39107 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 確率

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□投稿者/ キスカ一般人(8回)-(2009/07/23(Thu) 22:37:56)

> ④-2×⑤ として ⑥：a[n]-2b[n]＝(-1/6)^n
> ④+5×⑤ として ⑦：a[n]+5b[n]＝1
ここの部分がいまいちわかりません；
どうやって(-1/6)^nや１になるんでしょう；
何度も何度もすみません…

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■39112 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 確率

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□投稿者/ miyup 大御所(883回)-(2009/07/24(Fri) 07:55:05)

④：a[n+1]＝1/6・a[n]+10/6・b[n]
⑤：b[n+1]＝1/6・a[n]+ 4/6・b[n]

④-2×⑤ として
a[n+1]-2b[n+1]
　＝1/6・a[n]+10/6・b[n]-2(1/6・a[n]+ 4/6・b[n])
　＝-1/6・a[n]+2/6・b[n]
　＝-1/6・(a[n]-2b[n])
　＝(-1/6)^2・(a[n-1]-2b[n-1])
　…
　＝(-1/6)^n・(a[1]-2b[1])
　＝(-1/6)^(n+1)
よって
a[n]-2b[n]＝(-1/6)^n

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■39138 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 確率

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□投稿者/ キスカ一般人(9回)-(2009/07/25(Sat) 14:55:59)

やっと理解できました　
miyupさん、KINOさん
何度も何度も
ありがとうございました！

解決済み!

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