数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 極限 / Page: 0]

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■38952 / inTopicNo.1)

　極限

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□投稿者/ りん一般人(10回)-(2009/07/10(Fri) 23:35:38)

つい最近の期末テストの解答で、
lim[x→∞]f(x)に極限があるためには、lim[x→∞]f(x)/x→0でなければならない
といった一文があったのですが、ここのところが分からないです。どなた様か教えてください。

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■38953 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ KINO 一般人(33回)-(2009/07/10(Fri) 23:57:04)

もし lim[x→∞]f(x) が存在したとすると，それを a とおけば，
x が非常に大きい数のとき（例えば $2$10^{10000}$ とか。想像もできませんが！），f(x) はほとんど a に等しいので，f(x)/x はほとんど a/x に等しく，これは分母が非常に大きいのでほとんど 0 に等しいはずです。
このような考察を lim[x→∞]f(x)/x=0 と簡潔に書いたとお考え下さい。

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■38954 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ miyup 大御所(869回)-(2009/07/11(Sat) 08:51:49)

2009/07/11(Sat) 08:54:37 編集(投稿者)

■No38952に返信(りんさんの記事)
> つい最近の期末テストの解答で、
> lim[x→∞]f(x)に極限があるためには、lim[x→∞]f(x)/x→0でなければならない
> といった一文があったのですが、ここのところが分からないです。どなた様か教えてください。

この文は「lim[x→∞]f(x)/x→0　ならば　lim[x→∞]f(x)に極限がある」
という命題になりますが
　f(x)＝sinx とすると
　lim[x→∞]f(x)/x→0　であるが　lim[x→∞]f(x)に極限はないので
この命題は偽になります。

おそらく解答の（文章表現の）間違いで
正しくは
「lim[x→∞]f(x)に極限があるとき、lim[x→∞]f(x)/x→0　となる」
と思われます。

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■38955 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ miyup 大御所(870回)-(2009/07/11(Sat) 09:14:19)

■No38953に返信(KINOさんの記事)
> もし lim[x→∞]f(x) が存在したとすると，それを a とおけば，
> x が非常に大きい数のとき（例えば $2$10^{10000}$ とか。想像もできませんが！），f(x) はほとんど a に等しいので，f(x)/x はほとんど a/x に等しく，これは分母が非常に大きいのでほとんど 0 に等しいはずです。

KINOさんへ
f(x)/x の分子と分母を別々に x→∞ とするのは少々まずいと思います。

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■38956 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ らすかる大御所(618回)-(2009/07/11(Sat) 09:53:11)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

>miyupさん
> lim[x→∞]f(x)に極限があるためには、lim[x→∞]f(x)/x→0でなければならない

この文は「lim[x→∞]f(x)/x→0　ならば　lim[x→∞]f(x)に極限がある」という意味では
ないのではないでしょうか。
「lim[x→∞]f(x)に極限があるためには、lim[x→∞]f(x)/x→0でなければならない」
＝「lim[x→∞]f(x)に極限があるためには、“少なくとも”lim[x→∞]f(x)/x→0である必要がある」
＝「lim[x→∞]f(x)に極限があるならば、lim[x→∞]f(x)/x→0である」
という意味に思えます。

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■38957 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 極限

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□投稿者/ miyup 大御所(871回)-(2009/07/11(Sat) 10:44:31)

2009/07/11(Sat) 10:46:55 編集(投稿者)

■No38956に返信(らすかるさんの記事)
> 「lim[x→∞]f(x)に極限があるためには、lim[x→∞]f(x)/x→0でなければならない」
> ＝「lim[x→∞]f(x)に極限があるためには、“少なくとも”lim[x→∞]f(x)/x→0である必要がある」
> ＝「lim[x→∞]f(x)に極限があるならば、lim[x→∞]f(x)/x→0である」
> という意味に思えます。

１行目と３行目は、私の中では＝にならないのですが…　むずかしいですね。
いずれにせよ
　lim[x→∞]f(x)/x→0
の部分は必要条件であることは間違いないですが。

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■38958 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 極限

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□投稿者/ KINO 一般人(34回)-(2009/07/11(Sat) 15:30:54)

■No38955に返信(miyupさんの記事)
> KINOさんへ
> f(x)/x の分子と分母を別々に x→∞ とするのは少々まずいと思います。

分子と分母について別々に極限を取ったつもりなど全くないのですが・・・。

よくお読み下さい。
『x が非常に大きい数のとき』という出だしの言葉は，この一文全てにかかっているのです。

ちなみに，この解答の一文について，僕はらすかるさんと同じ解釈です。

『PであるためにはQでなければならない』とは，『PであるためにはQであることが必要である』とみて，『QはPであるための必要条件』，つまり『PならばQ』という言明だと理解しました。

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■38959 / inTopicNo.8)

　Re[4]: 極限

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□投稿者/ すっとこどっこい一般人(26回)-(2009/07/11(Sat) 17:05:44)

2009/07/11(Sat) 20:21:42 編集(投稿者)

りんさんの最初の投稿についてですが、

「極限が∞または－∞である場合には、これを極限値とはいわない。」
(たしか高校の数学の教科書にはどこかに書いてあったはずです。)ので、

「に極限があるためには」という表現は誤りで、
「が収束する(に極限値が存在する)ためには」とかになると思います。

f(x)＝2xとすると、lim[x→∞]f(x)＝∞(極限は∞。極限値はなし。), lim[x→∞]{f(x)／x}＝2(≠0)なので、
「に極限があるためには」の文章では反例が存在することがわかると思います。

ですから、『lim[x→∞]f(x)が収束する(lim[x→∞]f(x)＝α:定数) ならば lim[x→∞]{f(x)／x}＝0である。』という意味だと思います。

また、対偶をとると、『lim[x→∞]{f(x)／x}≠0 ならば lim[x→∞]f(x)は収束しない。』となります。

あ～、日本語って難しいですね。数学も難しいですね。

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■38960 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 極限

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□投稿者/ らすかる大御所(619回)-(2009/07/11(Sat) 17:50:41)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2009/07/11(Sat) 17:56:56 編集(投稿者)

> らすかるさんの投稿についてですが、
>
> > この文は「lim[x→∞]f(x)/x→0 ならば lim[x→∞]f(x)に極限がある」
> > という意味ではないのではないでしょうか。
>
> この箇所については、miyupさんが既に反例(f(x)＝sinx)を示されていますので、おかしいのではな
> いかと思います。

私は文章読解力がないので何が「おかしい」と言っているのか
わからないのですが、少なくとも私は
「lim[x→∞]f(x)/x→0 ならば lim[x→∞]f(x)に極限がある」
という意味“ではない”のでは、と書いています。

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■38962 / inTopicNo.10)

　Re[6]: 極限

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□投稿者/ すっとこどっこい一般人(27回)-(2009/07/11(Sat) 19:43:35)

■No38960に返信(らすかるさんの記事)

> 「lim[x→∞]f(x)/x→0 ならば lim[x→∞]f(x)に極限がある」
> という意味“ではない”のでは、と書いています。

なるほど。

「…という意味ではないのではないでしょうか。」は、
「…という意味ではないと考えています。」ですね。

んー、やっぱり、日本語は難しい。

失礼いたしました。私の先の投稿を修正しておきますね。

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■38963 / inTopicNo.11)

　Re[5]: 極限

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□投稿者/ KINO 一般人(35回)-(2009/07/11(Sat) 20:04:42)

高校レベルではこういう説明でしょう：
$2$\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha$ ならば，
$2$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}f(x)\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} =\alpha\times 0=0.$

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■38964 / inTopicNo.12)

　Re[4]: 極限

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□投稿者/ miyup 大御所(872回)-(2009/07/11(Sat) 21:18:55)

2009/07/11(Sat) 21:20:53 編集(投稿者)

■No38958に返信(KINOさんの記事)
> 『PであるためにはQでなければならない』とは，『PであるためにはQであることが必要である』とみて，『QはPであるための必要条件』，つまり『PならばQ』という言明だと理解しました。

意味としては『PならばQ』であり、これが真であることは理解できていますが
「ため」＝「理由・根拠」なので、『QならばP』ととってしまったわけです。

理解するために３段階ぐらいのステップが必要な表現のようですが
適切な言い回しなのでしょうかね？

lim[x→∞]f(x)に極限があるためには、lim[x→∞]f(x)/x→0でなければならない
でなくて、すなおに
lim[x→∞]f(x)に極限があるならば、lim[x→∞]f(x)/x→0である
と表現してほしいです。

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■38966 / inTopicNo.13)

　Re[5]: 極限

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□投稿者/ りん一般人(11回)-(2009/07/11(Sat) 23:33:39)

回答者様へ

皆様回答ありがとうございました。なんだか大変なことになってしまいましたが…

ちなみにテストの問題は、

lim[x→∞]{√(4x^2+4x+1)-(ax+b)}=2となるためのaとbの条件を求めなさい

といったものです。配られた解答では、

lim[x→∞]f(x)に極限があるためには、lim[x→∞]f(x)/x→0でなければならないので、lim[x→∞]{√(4x^2+4x+1)-(ax+b)}/x=0であるからa=2…

となっていて、急にlim[x→∞]f(x)/x→0が出てきたのでわからなかったんですが、おかげさまで納得できました。

解決済み!

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