数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 極限 / Page: 0]

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■38770 / inTopicNo.1)

　極限

□投稿者/ kaeru 軍団(113回)-(2009/06/28(Sun) 08:14:00)

関数f(x),g(x)(x>0)を次のように定義する。
f(x)=log(x+1)-logx,g(x)∫[1→x](1/t-f(t))dt
(1)極限lim[x→∞]f(x)およびlim[x→∞]xf(x)を求めよ。
(2)g(x)を求めよ。
(3)極限lim[x→∞]g(x)を求めよ。

すいませんお願いします。

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■38771 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ だるまにおん付き人(59回)-(2009/06/28(Sun) 10:26:52)

$2$ g(x) = \displaystyle\int_{1}^{\ \ \ \ x} \left( \frac{1}{t} - f(t) \right) dt$
ですね？

$2$(1)$
$2$ \lim_{x \to \infty} f(x) \\ = \lim_{x \to \infty} \left( \log (x+1) - \log x \right) \\ = \lim_{x \to \infty} \log \left( \frac{x+1}{x} \right) \\ = \log 1 \\ = 0 \\ \lim_{x \to \infty} xf(x) \\ = \lim_{x \to \infty} x \left( \log (x+1) - \log x \right) \\ = \lim_{x \to \infty} x \log \left( \frac{x+1}{x} \right) \\ = \lim_{x \to \infty} \log \left( \frac{x+1}{x} \right)^{x} \\ = \log e \\ = 1$
$2$(2)$
計算するだけですから、ひとまず自分でやってみましょう。
$2$(3)$
とりあえず $2$(2)$ をやってみてから、また考えましょう。

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■38791 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ kaeru 軍団(117回)-(2009/06/29(Mon) 00:34:21)

(2)は
g(x)=logx-(t+1)log(t+1)+tlogt
となったのですが
あっているのでしょうか？
間違ってたら計算しなおします。

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■38792 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極限

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□投稿者/ だるまにおん付き人(60回)-(2009/06/29(Mon) 00:50:40)

間違っています。 $2$t$ が残るはずがありません。
もし $2$\log x-(x+1)\log (x+1)+x\log x$ のつもりだとしても、間違っています。
何かを忘れています。

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■38793 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 極限

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□投稿者/ kaeru 軍団(118回)-(2009/06/29(Mon) 00:58:56)

∫[1→x]log(t+1)dt+∫[1→x]logt
のときに
部分積分法を使うと
tが残りませんか？

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■38795 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 極限

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□投稿者/ だるまにおん付き人(61回)-(2009/06/29(Mon) 01:04:42)

残りません。例えば

$2$ \displaystyle\int_{1}^{\ \ \ \ x} \log t dt = \displaystyle\int_{1}^{\ \ \ \ x} \left( t \right)' \log t dt \\ = \left[ t\log t \right]_{1}^{x} - \displaystyle\int_{1}^{\ \ \ \ x} t \left( \log t \right)' dt \\ = x \log x - \displaystyle\int_{1}^{\ \ \ \ x} dt \\ = x \log x - \left[ t \right]_{1}^{x} \\ = x \log x - x + 1$

のようになります。

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■38797 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 極限

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□投稿者/ kaeru 軍団(120回)-(2009/06/29(Mon) 01:13:39)