 | 条件から
x^5+2x^4-3x^3-3x^2+2x+1 (A)
は(x-1)^2を因数に持つことが分かりますので(A)を(x-1)^2で割ることを考えましょう。
(x^5+2x^4-3x^3-3x^2+2x+1)÷(x-1)^2
=x^3+4x^2+4x+1
ですので
x^5+2x^4-3x^3-3x^2+2x+1
={(x-1)^2}(x^3+4x^2+4x+1)
更にf(x)=x^3+4x^2+4x+1とおくとf(-1)=0ですから、因数定理よりf(x)はx+1を因数に持つことが分かりますから、このことを前提にしてf(x)を因数分解すると結局
x^5+2x^4-3x^3-3x^2+2x+1
={(x+1)(x-1)^2}(x^2+2x+1)
={(x+1)^3}(x-1)^2
となります。
ここで問題の二次式と三次式の最大公約数はx-1ですから、
二次式は(x+1)(x-1)
三次式は(x-1)(x+1)^2
となります。
|