 | 空間内に４点A(1,-1,3)、B(4,3,3)、C(0,1,5)、D(5,-4,8)がある。
(4)を教えて下さい。
(1)AD⊥AB、AD⊥ACが成り立つことを示せ。
AD↑(4,-3,5) 、AB↑(3,4,0) 、AC↑(-1,2,2)
AD↑･AB↑=4･3+(-3)･4+5･0=0
したがってAD⊥AB
AD↑･AC↑=4･(-1)+(-3)･2+5･2=0
したがってAD⊥AC
(2)∠BAC=θとするときcosθの値を求めよ。
cosθ=(AB↑･AC↑)/| AB↑|･| AC↑|
=(3･(-1)+4･2+0･2)/=√(3^2+4^2+0^2) √((-1) ^2+2^2+2^2)
=5/(5･3)=1/3
(3)△ABCの面積を求めよ。
cosθ=1/3からsinθ=(2√2)/3
S=1/2(| AB↑|･| AC↑| sinθ
=1/2(5･3･(2√2)/3)=5√2
(4)点A、B、C、Dを頂点とする四面体の体積を求めよ。
点Dから△ABCへの垂線の長さが求められません。
なお、体積は50/3です。
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