| 空間内に4点A(1,-1,3)、B(4,3,3)、C(0,1,5)、D(5,-4,8)がある。 (4)を教えて下さい。
(1)AD⊥AB、AD⊥ACが成り立つことを示せ。 AD↑(4,-3,5) 、AB↑(3,4,0) 、AC↑(-1,2,2)
AD↑・AB↑=4・3+(-3)・4+5・0=0 したがってAD⊥AB
AD↑・AC↑=4・(-1)+(-3)・2+5・2=0 したがってAD⊥AC
(2)∠BAC=θとするときcosθの値を求めよ。
cosθ=(AB↑・AC↑)/| AB↑|・| AC↑| =(3・(-1)+4・2+0・2)/=√(3^2+4^2+0^2) √((-1) ^2+2^2+2^2) =5/(5・3)=1/3
(3)△ABCの面積を求めよ。 cosθ=1/3からsinθ=(2√2)/3
S=1/2(| AB↑|・| AC↑| sinθ =1/2(5・3・(2√2)/3)=5√2
(4)点A、B、C、Dを頂点とする四面体の体積を求めよ。 点Dから△ABCへの垂線の長さが求められません。 なお、体積は50/3です。
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