数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 単位行列について / Page: 0]

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■38040 / inTopicNo.1)

　単位行列について

□投稿者/ army 一般人(8回)-(2009/04/23(Thu) 22:39:50)

成分がすべて整数である5次の正方行列Ａについて
A^2～A^4が単位行列でないのに、A^5だけ単位行列になる
ようなAをひとつ答えよという問題に遭遇しました。

他に、では2次の正方行列で、A^2～A^5までは違うが、A^6だけ正方
行列になるようなAは？というのもありました。

いったいどこから手をつけたらいいのでしょうか。
検討がつきません。
具体的な解は示さず、解き方の流れを教えていただけないでしょうか。

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■38041 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 単位行列について

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□投稿者/ miyup 大御所(754回)-(2009/04/24(Fri) 10:51:50)

2009/04/24(Fri) 11:08:52 編集(投稿者)

■No38040に返信(armyさんの記事)
> 他に、では2次の正方行列で、A^2～A^5までは違うが、A^6だけ正方
> 行列になるようなAは？というのもありました。

　A^6だけ正方行列になる→A^6だけ単位行列になる

２次であれば、回転行列があります。（成分が実数なら）

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■38043 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 単位行列について

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□投稿者/ army 一般人(10回)-(2009/04/24(Fri) 12:07:13)

＞A^6だけ正方行列になる→A^6だけ単位行列になる
はい、すみません。書き間違いでした。正方でなく単位です。それから
成分は実数です。
なるほど確かに単位円の分割と考えればそうでした。
コメントありがとうございます。
5次の場合はどう考えたらいいでしょうか。

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■38044 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 単位行列について

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□投稿者/ miyup 大御所(756回)-(2009/04/24(Fri) 12:16:30)

■No38043に返信(armyさんの記事)
> 5次の場合はどう考えたらいいでしょうか。

整数の場合は思いつきませんが、複素数なら
対角行列で
　a11=cos(2π/5)+i・sin(2π/5),a22=a33=a44=a55=1
とすれば
　A^5=E
になります。

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■38047 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 単位行列について

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□投稿者/ らすかる大御所(571回)-(2009/04/24(Fri) 13:40:20)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

「具体的な解」しか書けませんが、
　0 1 0 0 0
　0 0 1 0 0
　0 0 0 1 0
　0 0 0 0 1
　1 0 0 0 0
でどうでしょう。

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■38061 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 単位行列について

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□投稿者/ army 一般人(11回)-(2009/04/25(Sat) 21:37:23)

miyupさん、再びありがとうございました。
やはり整数という制約があると一般的な解法が思いつきませんよね。

らすかるさん、回答ありがとうございます。
以前私も、そのような感じの行列で、何回もかけていくと零行列に
なるようなパターンを見たことがありました。
何か規則性があるんでしょうか、気になります。
ところでらすかるさんはどのようにして見つけられたのですか。
教えてください。

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■38062 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 単位行列について

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□投稿者/ らすかる大御所(572回)-(2009/04/25(Sat) 23:06:31)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

「0と1を各行・列に一つずつになるように適当に並べれば
目的の行列が作れるのではないか」と予想し、
適当に作って計算して確認したものです。

# 最初に“適当に並べて”作った行列は、４乗で単位行列になってしまいました。

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■38065 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 単位行列について

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□投稿者/ army 一般人(12回)-(2009/04/26(Sun) 09:36:32)

■No38062に返信(らすかるさんの記事)
> 「0と1を各行・列に一つずつになるように適当に並べれば
> 目的の行列が作れるのではないか」と予想し、
> 適当に作って計算して確認したものです。
>
> # 最初に“適当に並べて”作った行列は、４乗で単位行列になってしまいました。

なるほど、参考になりました。
ありがとうございました。
残りは自分で考えてみます。

解決済み!

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