数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 数と式 / Page: 0]

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■37999 / inTopicNo.1)

　数と式

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□投稿者/ 優一般人(1回)-(2009/04/20(Mon) 00:06:56)

5で割ると3余り、7で割ると5余るような3桁の自然数の個数を求めなさい。
解き方が全然分からないです。教えてください。お願いします。

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■38000 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数と式

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□投稿者/ らすかる大御所(564回)-(2009/04/20(Mon) 00:25:45)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2009/04/20(Mon) 05:31:44 編集(投稿者)

「5で割ると3余り、7で割ると5余るような3桁の自然数」
=「5で割ると3余り、7で割ると5余るような100以上999以下の自然数」
これに2を足すと
「5で割り切れ、7で割り切れるような102以上1001以下の自然数」
=「102以上1001以下の35の倍数」
となります。

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■38004 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数と式

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□投稿者/ 優一般人(2回)-(2009/04/20(Mon) 13:02:36)

＞これに2を足すと

どうして2を足すのですか？理由がさっぱり分からないです。

＞「102以上1001以下の35の倍数」

こういうのは[102/35]≦x≦[1001/35]を計算するんですよね。2≦x≦28になったので答えは27であっていますか？

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■38005 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数と式

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□投稿者/ らすかる大御所(565回)-(2009/04/20(Mon) 20:09:49)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞どうして2を足すのですか？理由がさっぱり分からないです。

「5で割ると3余る」数は、2を足せば5で割り切れるようになります。
「7で割ると5余る」数も、2を足せば7で割り切れるようになります。
5-3=2 かつ 7-5=2 だから2を足すと簡単に求まるのです。

＞こういうのは[102/35]≦x≦[1001/35]を計算するんですよね。
＞2≦x≦28になったので答えは27であっていますか？

残念ながら違います。
[102/35] というのは102"以下"で最大の35の倍数を35で割った数となり、
実際[102/35]=2を35倍すると70となって102から1001の中に入っていません。
[(102-1)/35]＜x≦[1001/35] から 2＜x≦28 → 26個となります。

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■38012 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数と式

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□投稿者/ 優一般人(3回)-(2009/04/21(Tue) 11:57:39)

らすかるさまへ

すごくわかりやすかったです。どうもありがとうございました。
最後に二つ質問させてください。

今回の問題の数はともに2を足せば割り切れましたが、たとえば、「3で割ると2余り、5で割ると1余る」のように、同じ数を足しても割り切れるようにならない場合はどのように考えるんでしょうか？
それから、a以上b以下のcの倍数の数Nは[a/c]≦N≦[b/c]を満たす整数の個数であるとノートにとってあるんですが、これは間違いなんでしょうか？

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■38013 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数と式

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□投稿者/ らすかる大御所(566回)-(2009/04/21(Tue) 12:37:11)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞「3で割ると2余り、5で割ると1余る」のように、同じ数を足しても
＞割り切れるようにならない場合はどのように考えるんでしょうか？

3で割り切れるようにするためにまず1を足します。
すると「3で割り切れ、5で割ると2余る」数になります。
この後は、3で割り切れるのを保つために3ずつ足します。
この例の場合は1回足すだけで「3でも5でも割り切れる」数になりますので、
結局最初の数に4を足せば「3でも5でも割り切れる」数になることがわかりますね。

＞それから、a以上b以下のcの倍数の数Nは[a/c]≦N≦[b/c]を満たす整数の
＞個数であるとノートにとってあるんですが、これは間違いなんでしょうか？

間違いです。例えばa=10,b=10,c=3のとき10以上10以下の数で3の倍数はないのに
3≦N≦3 を満たす1個となっておかしいですね。
正しくは [(a-1)/c]＜N≦[b/c] となります。

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■38018 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 数と式

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□投稿者/ 優一般人(4回)-(2009/04/21(Tue) 22:24:35)

詳しく教えてくださって、ありがとうございます。しつこいようで申し訳ないですが、もう一回だけ質問させてください。

＞3で割り切れるようにするためにまず1を足します。
すると「3で割り切れ、5で割ると2余る」数になります。
この後は、3で割り切れるのを保つために3ずつ足します。

前回は1回、今回は2回。なら、ある数で割るとある数余り、別の数で割るとある数余るどんな数でも何回か足し続ければその割る二つの数で割り切れるものでしょうか？

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■38019 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 数と式

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□投稿者/ らすかる大御所(568回)-(2009/04/21(Tue) 22:32:03)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2009/04/21(Tue) 22:35:55 編集(投稿者)

割る数が互いに素であれば必ず割り切れるようになります。
互いに素でない場合は、余りの数によります。
「4で割ったら1余り、6で割ったら5余る数」ならば3+4=7足せばいいですが、
「4で割ったら1余り、6で割ったら2余る数」の場合はいくら足しても割り切れません。
「4で割ったら1余る数」は奇数、「6で割ったら2余る数」は偶数であり、
両方を満たす数は存在しないからです。

# 私はこの類の問題で割る数が互いに素でないものは見たことがありません。

ちなみに、この方法は割る数が3つでも同じように使えます。
例えば「3で割って2余り、5で割って3余り、7で割って4余る数」の場合
1足して「3で割り切れ、5で割って4余り、7で割って5余る数」
3足して「3で割り切れ、5で割って2余り、7で割って1余る数」
3足して「3で割り切れ、5で割り切れ、7で割って4余る数」
15足して「3で割り切れ、5で割り切れ、7で割って5余る数」
15足して「3で割り切れ、5で割り切れ、7で割って6余る数」
15足して「3で割り切れ、5で割り切れ、7で割り切れる数」
よって元の数に1+3+3+15+15+15=52足すと3,5,7の最小公倍数になりますので
条件を満たす最小の正の数は3×5×7-52=53となります。

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■38022 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 数と式

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□投稿者/ 優一般人(5回)-(2009/04/22(Wed) 11:38:23)

＞必ず割り切れるようになります。

言い切るところがすごいですね。大変勉強になりました。ありがとうございました。

解決済み!

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