 | 2009/02/07(Sat) 23:32:15 編集(投稿者)
■No37604に返信(nokymさんの記事)
> 実数x,yがx^2+y^2=1を満たすとき、2x^2-xy+3y^2の取り得る値の最大値と最小値、およびそれらをとるときのx,yの値を求めよ
>
> という問題で、x=cosθ,y=sinθ(0≦θ＜2π)とおいて、2x^2-xy+3y^2=5/2-(sin2θ+cos2θ)/2として、これを合成して解くのではなく、別解として、(sin2θ+cos2θ)=(1,1)(sin2θ,cos2θ)の内積とみて、この2つのﾍﾞｸﾄﾙがなす角を仮にαとおいて、解くことはできないでしょうか？
sin2θ+cos2θ
＝(1,1)・(cos2θ,sin2θ)
＝√2×1×cosα
より、2x^2-xy+3y^2 の値は
α＝π,3πのとき最大、α＝0,2πのとき最小となる。
注 (cos2θ,sin2θ)は終点が x^2+y^2＝1 を描くベクトルで、0≦2θ＜4π。
ところで cos を用いた合成では
sin2θ+cos2θ
＝√2(cos2θcosπ/4+sin2θsinπ/4)
＝√2cos(2θ-π/4)
であるから、2x^2-xy+3y^2 の値は
2θ-π/4＝π,3πのとき最大、2θ-π/4＝0,2πのとき最小となる。
図形的に見れば α＝2θ-π/4 ですから両解法は同じものですが
ベクトルの方が θを出すには少し難しくなるかもしれません。
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