 | ■No37508に返信(moeさんの記事)
> １辺の長さが２の正三角形ABCがある。点Aから辺BCに下ろした垂線の足を点Hとする。線分AH上に中心を持ち、互いに外接する２つの円M,Nを次の条件によって描く。
> ①円Mは辺ABと辺ACに接する。
> ②円Nは辺BCに接する。
> 円Mと円Nの面積の和をS、円Mの半径をｒとするとき、Sが最大値をとるとき、rの値を求めよ。という問題です。よろしくお願いします。なお、答えは√3/9です。
円M,Nの中心をP,Q、半径をr,r'として考える。
AH=√3=3r+2r'より、r'=√3/2・(1-√3r)
よって
S=πr^2+πr'^2=π{r^2+3/4・(1-√3r)^2}=π/4・(13r^2-6√3r+3)
f(r)=13r^2-6√3r+3とおいて放物線と見ると
軸の式はr=3√3/13で
rの取り得る範囲は√3/9≦r≦√3/3であるから
この範囲においてf(r)が最大値をとるのは、r=√3/9の時である。
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