 | ■No37306に返信(早稲田志望さんの記事)
> ｜a+b|/(1+|a|+|b|)＜＝|a|/(1+|a|)+|b|/(1+|b|)
> が成り立つことを示せ。また、等号が成りたつための条件を求めよ。ただしはa,bはそれぞれ実数である。
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> 有名なx/(1+x) (x＞＝0)の単調性が必要とかなんとかいっていますが、ここでいう単調性とはxy平面で考えたときの単調増加関数であることをいいたいのですか？
(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)≧|a+b|/(1+|a|+|b|) は明らかなので
|a|/(1+|a|)+|b|/(1+|b|)≧(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) が示せればＯＫです。
問題を書き直すと
「f(x)＝x/(1+x) のとき、a,b≧0 で f(a)+f(b)≧f(a+b) となることを示せ」
となります。変形すると
f(a)+f(b)≧f(a+b)
⇔f(b)≧f(a+b)-f(a) （b＝0のときは自明なのでb≠0として両辺をbで割る）
⇔f(b)/b≧{f(a+b)-f(a)}/b
⇔{f(b)-f(0)}/(b-0)≧{f(a+b)-f(a)}/{(a+b)-a}
より、O(0,0),A(a,f(a)),B(b,f(b)),C(a+b,f(a+b)) とおけば
左辺：線分OBの傾き、右辺：線分ACの傾きを表します。
ところで
y＝f(x)のx≧0の部分のグラフは単調増加ですが、上に凸なので
常に 線分OBの傾き≧線分ACの傾き
となっています。
図形的なイメージとして以上のようにとらえてみてはどうでしょうか。
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