数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: y=logxとx軸とy軸とで囲まれる領域Rをy=1を回転軸として回転させた立体の体積は? / Page: 0]

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■37258 / inTopicNo.1)

　y=logxとx軸とy軸とで囲まれる領域Rをy=1を回転軸として回転させた立体の体積は?

□投稿者/ mmm 一般人(1回)-(2008/12/30(Tue) 09:57:39)

y=logx (底はe)とx軸とy軸とで囲まれる領域Rをy=1を回転軸として回転させた立体の体積を求めています。

半径1,高さe-1の円柱の体積(e-1)πからSの回転体の体積V_sを引けばRの回転体の体積Vが求まると思います。
よってSの回転体の体積V_sを求めて見ると,

V_s=π∫[1..e](-lnx+1)^2dx=π∫[1..e]((lnx)^2-2lnx+1)dx
=π∫[0..1](t^2-2t+1)e^tdt (∵t=lnxと置くとdt=dx/x=dx/e^t)
=π∫[0..1](t^2e^t-2te^t+e^t)dt
から先に進めません。どのようにして積分すればいいのでしょうか?

300×425 => 176×250

figure3.jpg/26KB

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■37259 / inTopicNo.2)

　Re[1]: y=logxとx軸とy軸とで囲まれる領域Rをy=1を回転軸として回転させた立体の体積は?

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□投稿者/ miyup 大御所(678回)-(2008/12/30(Tue) 10:16:16)

2008/12/30(Tue) 12:42:28 編集(投稿者)

部分積分です。

∫te^tdt＝te^t-∫e^tdt＝te^t-e^t
∫t^2・e^tdt＝t^2・e^t-∫2te^tdt＝t^2・e^t-2(te^t-e^t)

疑問ですが
>y=logx (底はe)とx軸とy軸とで囲まれる領域R
とはどの部分でしょうか？

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■37260 / inTopicNo.3)

　Re[2]: y=logxとx軸とy軸とで囲まれる領域Rをy=1を回転軸として回転させた立体の体積は?

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□投稿者/ mmm 一般人(2回)-(2008/12/31(Wed) 03:48:40)

有難うございます。

> 部分積分です。
> ∫te^tdt＝te^t-∫e^tdt＝te^t-e^t
> ∫t^2・e^tdt＝t^2・e^t-∫2te^tdt＝t^2・e^t-2(te^t-e^t)

その手がありましたね。
結局,
V_s=π∫[0..1](t^2e^t-2te^t+e^t)dt=π[t^2e^t-4te^t+5e^t]^1_0
=π(2e-5)
となるのでV=π(e-1)-V_s=π(e-1)-π(2e-5)=π(4-e)
となるのですね。

> 疑問ですが
> >y=logx (底はe)とx軸とy軸とで囲まれる領域R
> とはどの部分でしょうか？

一番目の図のSの右下です。Rと書いているのですがちょっと見難いですね。
すいません。

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■37278 / inTopicNo.4)

　Re[3]: y=logxとx軸とy軸とで囲まれる領域Rをy=1を回転軸として回転させた立体の体積は?

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□投稿者/ miyup 大御所(683回)-(2009/01/03(Sat) 17:05:31)

■No37260に返信(mmmさんの記事)
>>疑問ですが
>>>y=logx (底はe)とx軸とy軸とで囲まれる領域R
>>とはどの部分でしょうか？
>
> 一番目の図のSの右下です。Rと書いているのですがちょっと見難いですね。
> すいません。

y=logx とx軸と直線x＝eとで囲まれる領域R ではありませんか？

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