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■36881 / inTopicNo.1) 　回転体の体積
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□投稿者/ mayuko 一般人(3回)-(2008/11/26(Wed) 22:14:06)
    a,bを正の数とする。楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1で囲まれた図形をx=2aの周りに 1回転させてできる立体の体積をVとする。Vをa,bを用いて表せ。
    という問題で、普通にやると答えが出たのですが、バームクーヘン積分でやるとどうなるのですか？できたら、このようにxについて解くと複雑なものはバームクーヘン積分でやりたいのですが、教えてください。また、これを使うときはどのようなときが有効なのでしょうか？ちなみに答えはV=4a^2bπ^2です。
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■36882 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 回転体の体積
□投稿者/ 豆 付き人(93回)-(2008/11/27(Thu) 07:32:14)
    パップスギュルダンの事ですかね？
    楕円の重心は原点なので、回転中心との距離は2a
    ∴V=πab・2π・2a=4π^2a^2b

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■36883 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 回転体の体積
□投稿者/ mayuko 一般人(4回)-(2008/11/27(Thu) 08:15:04)
    ■No36882に返信(豆さんの記事)
    > パップスギュルダンの事ですかね？
    > 楕円の重心は原点なので、回転中心との距離は2a
    > ∴V=πab・2π・2a=4π^2a^2b
    >
    ありがとうございました。この方法はすごいですね。ちなみに２π・２aは円周のことですよね。でも私の求めていた方法とは違います。バームクーヘン積分法での解答です。どなたか分かる方教えて下さい。
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■36886 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 回転体の体積
□投稿者/ サボテン 大御所(325回)-(2008/11/27(Thu) 10:20:15)
    バームクーヘン積分と言うのは初耳だったのですが、軸を原点と捉えなおせば
    ∫_{a〜3a}2πy(x)xdx
    で出ます。
    x=acosθ+2a、y=bsinθと置けば、
    ∫_{a〜3a}2π・2y(x)xdx=4πa^2b∫_{0〜π}sin^2θ(cosθ+2)dθ=4π^2a^2b
    となります。


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■36892 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 回転体の体積
□投稿者/ mayuko 一般人(5回)-(2008/11/27(Thu) 13:20:12)
    ■No36886に返信(サボテンさんの記事)
    > バームクーヘン積分と言うのは初耳だったのですが、軸を原点と捉えなおせば
    > ∫_{a〜3a}2πy(x)xdx
    > で出ます。
    > x=acosθ+2a、y=bsinθと置けば、
    > ∫_{a〜3a}2π・2y(x)xdx=4πa^2b∫_{0〜π}sin^2θ(cosθ+2)dθ=4π^2a^2b
    > となります。

    ありがとうございました。
    サボテンさんにお手間をおかけしますが、
    ∫_{a〜3a}2π・2y(x)xdx=4πa^2b∫_{0〜π}sin^2θ(cosθ+2)dθの計算で
    どうしてもsin^2θの形が出てきません。途中式をかいてもらってもいいですか。
    ほんとうにすみません。
    >
    >
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■36893 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 回転体の体積
□投稿者/ サボテン 大御所(328回)-(2008/11/27(Thu) 13:52:49)
    dx=-asinθdθなので、ydx=-absin^2dθとなりsin^2θが登場します。
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■36896 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 回転体の体積
□投稿者/ X 大御所(307回)-(2008/11/27(Thu) 15:57:12)
    2008/11/27(Thu) 16:03:02 編集(投稿者)

    横から失礼します。
    バームクーヘン積分とは名前の通り、回転体の体積を厚さが極めて小さい
    同心円筒に分割して計算する積分を指して言います。
    その方針だと以下のようになります。

    問題の回転体から、半径2a-x(但し-a≦x≦a)の円筒を抜き出すと、
    その側面積S(x)は
    S(x)=2π(2a-x){b√{1-(x/a)^2}-{-b√{1-(x/a)^2}}}
    =4πb(2a-x)√{1-(x/a)^2}
    ∴求める体積をVとするとバームクーヘン積分により
    V=∫[-a→a]S(x)dx
    =∫[-a→a]4πb(2a-x)√{1-(x/a)^2}dx
    =…
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