数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 数学的帰納法 / Page: 0]

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■36849 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法

□投稿者/ ae 一般人(1回)-(2008/11/19(Wed) 20:28:47)

数列｛a[n]｝について、初項から第ｎ項までの和をS[n]とする。

a[1]=2, a[n+1]=3a[n]-S[n]

が成り立つとき、次の問いに答えよ。ただし、ｎは自然数とする。

(1) a[2],a[3] の値を求めよ。

(2) 隣接する３項、a[n+2],a[n+1],a[n] の間の関係式を求めよ。

(3) 数学的帰納法を用いて、a[3n] が６の倍数であることを証明せよ。

(3)がどうしても分かりません。お願いします。

(1)の解答は、a[2]=4,a[3]=6 (2)は、a[n+2]-3a[n+1]+3a[n]=0 のはずです。

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■36850 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ DANDY　U 一般人(26回)-(2008/11/19(Wed) 23:24:09)

(1) a[2]＝3a[1]－S[1]＝3a[1]－a[1]＝2a[1]＝4
a[3]＝3a[2]－S[2]＝3a[2]－(a[1]+a[2})＝・・・

(2) a[n+2]＝3a[n+1]－S[n+1]＝3a[n+1]－(S[n]＋a[n+1])＝2a[n+1]－S[n]・・・(イ)
　a[n+1]＝3a[n]－S[n]　・・・・(ロ)
(イ)－(ロ)より
a[n+2]－a[n+1]＝2a[n+1]－3a[n]
よって、a[n+2]＝3a[n+1]－3a[n]　（書かれておられるのと同じことです）

(3) a[3]＝６（６の倍数）
a[3n]が６の倍数とするとき
a[3(n+1)]＝3a[3n+2]－3a[3n+1]＝3(3a[n+1]－3a[n])－3a[3n+1]
　　　　＝・・・・

続けていってみてください。

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■36851 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ miyup 大御所(662回)-(2008/11/19(Wed) 23:24:41)

■No36849に返信(aeさんの記事)
> (3) 数学的帰納法を用いて、a[3n] が６の倍数であることを証明せよ。

　a[1]＝2,a[2]＝4,a[3]＝6 で
　a[n+2]＝3a[n+1]-3a[n]＝3(a[n+1]-a[n])
より
　n≧3 のとき a[n]は３の倍数…①
また
　a[3n+3]＝3a[3n+2]-3a[3n+1]
　a[3n+2]＝3a[3n+1]-3a[3n]
として辺々引くと
　a[3n+3]-a[3n+2]＝3a[3n+2]-6a[3n+1]+3a[3n]
　a[3(n+1)]＝4a[3n+2]-6a[3n+1]+3a[3n]
となり
　a[3n]が６の倍数であればa[3(n+1)]は偶数…②
①②より
　a[3n]が６の倍数であればa[3(n+1)]は６の倍数である。

a[3]＝6 であるから、a[3n]は６の倍数である。

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■36853 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ ae 一般人(2回)-(2008/11/20(Thu) 06:32:28)

無事解決しました。ご協力感謝します。

解決済み!

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