数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[11]: 代数学の問題 / Page: 0]

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■36762 / inTopicNo.1)

　代数学の問題

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□投稿者/ なち一般人(1回)-(2008/11/14(Fri) 23:03:59)

連続した3つの整数の積は6で割り切れることを証明せよ。
という問題です。

どなたか宜しくお願いします。

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■36764 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 代数学の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(655回)-(2008/11/14(Fri) 23:31:51)

■No36762に返信(なちさんの記事)
> 連続した3つの整数の積は6で割り切れることを証明せよ。
> という問題です。

連続した３つの整数には必ず偶数と３の倍数が入っています。

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■36767 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 代数学の問題

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□投稿者/ なち一般人(2回)-(2008/11/15(Sat) 00:12:55)

例えば、123だったら偶数が2で3の倍数が3ってことですよね？
これからどのように証明すればいいのでしょうか？

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■36771 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 代数学の問題

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□投稿者/ sol 一般人(15回)-(2008/11/15(Sat) 08:52:22)

> 例えば、123だったら偶数が2で3の倍数が3ってことですよね？
> これからどのように証明すればいいのでしょうか？

「これからどのように」ではなく、「２の倍数も３の倍数もあるよ」ということを証明すれば「掛け合わせれば２×３で６の倍数だよね」と言っておしまいです。
ですから、miyupさんの回答で本質的に証明が終わっています。
＃「２の倍数と３の倍数を掛け合わせれば６の倍数」はわかりますか？
あとは、それを数学的にきちんと書くこと（例示ではなく、一般で成り立つことを示すこと）です。

一般で成り立つことを示す、のですから、何か数を持ってくるのではなく、数を文字で表すこと。連続３整数であることに注意すれば、１文字で表せます。

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■36777 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 代数学の問題

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□投稿者/ なち一般人(3回)-(2008/11/15(Sat) 15:15:08)

２の倍数と３の倍数を掛け合わせれば６の倍数
というのは分かります。

式では、x=a(a+1)(a+2)
と置くのでしょうか？；

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■36785 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 代数学の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(656回)-(2008/11/15(Sat) 22:38:42)

■No36777に返信(なちさんの記事)
> ２の倍数と３の倍数を掛け合わせれば６の倍数
> というのは分かります。

「連続した３つの整数には必ず偶数と３の倍数が入るので
それらの積は６の倍数になる」

でＯＫです。
この程度であればあえて数式化する必要はありません。

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■36788 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 代数学の問題

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□投稿者/ なち一般人(4回)-(2008/11/16(Sun) 00:15:50)

それだけでいいんですね；

もし、連続した3つの整数の3乗の和は9で割り切れるというのだったら、
この場合は具体的に数を上げたほうがいいのでしょうか？

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■36789 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 代数学の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(657回)-(2008/11/16(Sun) 00:31:56)

■No36788に返信(なちさんの記事)
> それだけでいいんですね；

明らかな場合だけです。

> もし、連続した3つの整数の3乗の和は9で割り切れるというのだったら、
> この場合は具体的に数を上げたほうがいいのでしょうか？

具体的に数を上げるのは問題を理解するためです。具体的に上げても証明にはなりません。
この場合は数式化しないと証明できません。

連続３数を x-1, x, x+1 とおいて (x-1)^3+x^3+(x+1)^3 を計算していきます。
あとは x＝3m, 3m±1 と場合分けして
９の倍数になっているかどうかを確かめます。

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■36792 / inTopicNo.9)

　Re[6]: 代数学の問題

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□投稿者/ sol 一般人(16回)-(2008/11/16(Sun) 01:57:09)

> 「連続した３つの整数には必ず偶数と３の倍数が入るので
> それらの積は６の倍数になる」
>
模試でこれをやったら、おそらく点数は半分ないでしょうね。
「ほんとに？」って言われないレベルのがっちりした解答を書いておく方が無難でしょう。（個人的な感覚でしょうが、「高校のテスト」ならば、かなり丁寧に書いておく必要があると思います）

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■36795 / inTopicNo.10)

　Re[7]: 代数学の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(660回)-(2008/11/16(Sun) 10:47:21)

2008/11/16(Sun) 10:51:38 編集(投稿者)

■No36792に返信(solさんの記事)
>>「連続した３つの整数には必ず偶数と３の倍数が入るので
>>それらの積は６の倍数になる」
> >
> 模試でこれをやったら、おそらく点数は半分ないでしょうね。

その意見には同意できません（もっともこのレベルの問題は出ませんが）。
採点官にもよるかもしれませんが、本質的に間違っていないことを減点するようなことはないと思いたいですね。
大学入試では全く問題ないと思われます。

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■36799 / inTopicNo.11)

　Re[8]: 代数学の問題

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□投稿者/ sol 一般人(17回)-(2008/11/16(Sun) 14:01:52)

■No36795に返信(miyupさんの記事)
> >>「連続した３つの整数には必ず偶数と３の倍数が入るので
> >>それらの積は６の倍数になる」
>>>
>>模試でこれをやったら、おそらく点数は半分ないでしょうね。
>
> その意見には同意できません（もっともこのレベルの問題は出ませんが）。
> 採点官にもよるかもしれませんが、本質的に間違っていないことを減点するようなことはないと思いたいですね。
> 大学入試では全く問題ないと思われます。

入試で問われているのは「間違っていないこと」ではなく「わかっていること」なのです。残念ながら。
＃いわゆる「積分の1／6公式」を断りなしに使うことは好ましくない（やったら減点するぞ）と公表する大学があるぐらいです。
＃同じ大学は、ロピタルはもちろんのこと、ハミルトンケーリーの公式すら「高校の範囲外なので、常識として扱うのは好ましくない」と断じています。
＃なら、そういう問題を出さなければいいのですが、しっかり出ていたりするのが困ったものです。
ですから、「間違っていないこと」ではなく「正しいときちんと示していること」が採点基準になります。
先の回答では「論拠が不十分」といわれて大減点食らっても文句は言えないのです。実際、そういう模試はいくらでもあります。
そして、模試が大学入試を反映していないことはありえないので、そういう入試もいくらでもあるのです。残念ながら。

たとえば、
$2$A = \left( {\begin{array} a & b \\ c & d \\ \end{array}} \right)$ のとき $2$A^2 - (a + d) A + (ad - bc) E = O$ を示せ
なんて問題を「ハミルトンケーリーの定理より明らか」なんて書いたら点はないですよね。
これと同じレベルの「説明責任」が問われている、と、かなり丁寧に書いておくのが間違いないところだと思います。

自分が同意しているかどうかといえば、納得行かないものもたくさんあります。でも、現状そういう方向なので、仕方ないのかな、とも思います。
＃入試というのが「到達度試験」「理解度試験」である以上、「自分はちゃんとわかってるんだ」と主張することはとても大切なことなのでしょう。

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■36806 / inTopicNo.12)

　Re[9]: 代数学の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(661回)-(2008/11/16(Sun) 17:49:17)

2008/11/16(Sun) 17:53:05 編集(投稿者)

■No36799に返信(solさんの記事)
> たとえば、
> $2$A = \left( {\begin{array} a & b \\ c & d \\ \end{array}} \right)$ のとき $2$A^2 - (a + d) A + (ad - bc) E = O$ を示せ
> なんて問題を「ハミルトンケーリーの定理より明らか」なんて書いたら点はないですよね。

今回の
Ａ：「連続した３つの整数には必ず偶数と３の倍数が入るのでそれらの積は６の倍数になる」
は上の例の
Ｂ：「ハミルトンケーリーの定理より明らか」
というものとは本質的に全く違います。
したがって
Ａは「わかっていること」「正しいときちんと示していること」の範疇であり、減点の対象にはならないと思いますし

＞先の回答では「論拠が不十分」といわれて大減点食らっても文句は言えない

先の回答で「論拠は十分」であると思います。

他の方のご意見をお聞きしたいと思います。

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■36811 / inTopicNo.13)

　Re[10]: 代数学の問題

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□投稿者/ kei 一般人(13回)-(2008/11/17(Mon) 00:45:35)

僕は大方miyupさんに賛成です。
「連続した３つの整数には必ず偶数と３の倍数が入るのでそれらの積は６の倍数になる」
で十分、本質的な部分は抑えているので、「わかっている」ということは伝わるかと。
少し譲って仮に減点されるにしても、「半分ない」などということはないと思います。
また、solさんが挙げた「ハミルトンケーリーの定理」の例は今回の問題とは全く性質の違うものでしょう。例になってないと思います。

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■36821 / inTopicNo.14)

　Re[11]: 代数学の問題

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(22回)-(2008/11/17(Mon) 11:43:09)

2008/11/17(Mon) 13:40:56 編集(投稿者)

横から失礼します。

自分も

>「連続した３つの整数には必ず偶数と３の倍数が入るのでそれらの積は６の倍数になる」

これで十分であると考えます。

ただし，文字式を用いた証明を初めて学ぶ単元の定期考査では，文字式を用いてねちっこく証明してあげる必要があると思います。

なお，途中solさんが例として挙げられた，

> $2$A = \left( {\begin{array} a & b \\ c & d \\ \end{array}} \right)$ のとき $2$A^2 - (a + d) A + (ad - bc) E = O$ を示せ
> なんて問題を「ハミルトンケーリーの定理より明らか」なんて書いたら点はないですよね。

ってのは，今の問題に当てはめると

「連続3整数の積は6の倍数になるから明らか」

っていうのと同じなのであって，

miyupさんのおっしゃる

「連続した３つの整数には必ず偶数と３の倍数が入るのでそれらの積は６の倍数になる」

とは少々毛色が違うように感じられます。

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