 | ■No36696に返信(澤井さんの記事)
> 素数p、qに対して、a[n]=p^n-4(-q)^n(n=1,2,3,…)によって整数a[n]を定める。ただしp＞2qとする。a[n]がすべて3の倍数であるようなp、qのうちで積pqが最小になるものを求めなさい。
とっかかり
a[1]＝p+4q＝(p+q)+3q より p+q が３の倍数であることが必要条件。
このとき
p+q＝3k とおくと p＝3k-q で
a[n]＝(3k-q)^n-4(-q)^n＝3M+(-q)^n-4(-q)^n＝3M-3(-q)^n (Mは整数)
で a[n]は３の倍数になる。
以上より
a[n]がすべて3の倍数である⇔p+q が３の倍数である。
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