| ■No36696に返信(澤井さんの記事) > 素数p、qに対して、a[n]=p^n-4(-q)^n(n=1,2,3,…)によって整数a[n]を定める。ただしp>2qとする。a[n]がすべて3の倍数であるようなp、qのうちで積pqが最小になるものを求めなさい。
とっかかり
a[1]=p+4q=(p+q)+3q より p+q が3の倍数であることが必要条件。 このとき p+q=3k とおくと p=3k-q で a[n]=(3k-q)^n-4(-q)^n=3M+(-q)^n-4(-q)^n=3M-3(-q)^n (Mは整数) で a[n]は3の倍数になる。 以上より a[n]がすべて3の倍数である⇔p+q が3の倍数である。
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