数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 連立方程式 / Page: 0]

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■36644 / inTopicNo.1)

　連立方程式

□投稿者/ mayuko 一般人(1回)-(2008/11/03(Mon) 18:27:58)

a,bを実数として、x,yについての方程式
　　　x^2-y^2=a ① 2xy=b　②
を考える。
「b≠0 のとき、この方程式を満たす実数x,yをすべて求めよ」
という問題で
　b≠0 なのでx≠0、y≠0ということで、y=b/{2x}として①に代入したらxが２重根号になってしまいました。答えがないので、どなたか教えていただけますか。aの場合分けが必要なのかな？

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■36657 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 連立方程式

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(14回)-(2008/11/04(Tue) 08:50:32)

2重根号外れるような。

$2$(\sqrt{a+b}\pm\sqrt{a-b})^{2}=a+b\pm{2}\sqrt{(a+b)(a-b)}+a-b=2a\pm{2}\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ を利用します

$2$b\not=0$ より， $2$y=\frac{b}{2x}$

これをもう一方の式に代入して，整理すると， $2$x^{4}-ax^{2}-\frac{b^{2}}{4}=0$

$2$x^{2}=X$ として， $2$X^{2}-aX-\frac{b^{2}}{4}=0$

これを解くと， $2$X=x^{2}=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{2}$

あとは複合の処理に気をつけながら $2$y$ を求めていけばよろしいかと。まだ解いてないけど･･･

ここで， $2$a^{2}\geq{b^{2}}$ ならば， $2$X\geq{0}$

このとき， $2$\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac{a\pm\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{2}}=\pm\frac{\sqrt{a+b}\pm\sqrt{a-b}}{2}$ （複号任意）

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■36658 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 連立方程式

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□投稿者/ mayuko 一般人(2回)-(2008/11/04(Tue) 09:15:16)

■No36657に返信(初心者@頭の中は夏休みさんの記事)
> 2重根号外れるような。
>
> $2$(\sqrt{a+b}\pm\sqrt{a-b})^{2}=a+b\pm{2}\sqrt{(a+b)(a-b)}+a-b=2a\pm{2}\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ を利用します
>
> $2$b\not=0$ より， $2$y=\frac{b}{2x}$
>
> これをもう一方の式に代入して，整理すると， $2$x^{4}-ax^{2}-\frac{b^{2}}{4}=0$
>
> $2$x^{2}=X$ として， $2$X^{2}-aX-\frac{b^{2}}{4}=0$
>
> これを解くと， $2$X=x^{2}=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{2}$
>
> あとは複合の処理に気をつけながら $2$y$ を求めていけばよろしいかと。まだ解いてないけど･･･
>
> ここで， $2$a^{2}\geq{b^{2}}$ ならば， $2$X\geq{0}$
>
> このとき， $2$\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac{a\pm\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{2}}=\pm\frac{\sqrt{a+b}\pm\sqrt{a-b}}{2}$ （複号任意）

ありがとうございました。
ところで、 $2$X=x^{2}=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{2}$
と書いてありましたが、 $2$X=x^{2}=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$
にならないでしょうか？そうすると、答えがやはり汚い形になってしまうのですが・・・

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■36659 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 連立方程式

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(15回)-(2008/11/04(Tue) 11:15:14)

わ～orz

すんません。大前提で大ポカをば。どうしたもんかわからんのでとりあえず今から再チャレンジをしてきます。

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■36660 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 連立方程式

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□投稿者/ サボテン大御所(312回)-(2008/11/04(Tue) 11:27:35)

横から失礼します。
どうしても2重根号をはずす必要があるのでしょうか?
個人的な意見としては、敢えてはずす必要はないとおもうのですが・・・。

もしはずしたい場合は、
x^2-y^2=a 2xy=b
において、
x^-2xyi-y^2=(x-yi)^2=a-bi
x^+2xyi-y^2=(x+yi)^2=a+bi

これより、x=[±√(a+bi)±√(a-bi)]/2となります。

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■36661 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 連立方程式

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(16回)-(2008/11/04(Tue) 11:44:39)

2008/11/04(Tue) 13:16:30 編集(投稿者)

再計算しました。

$2$\displaystyle X=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\geq{0}$ ですから，

$2$\displaystyle X=x^{2}=\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$ となり，

$2$\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt{2a+2\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}{2}$ と求まります

2重根号が外れなさそうなので，このままこれを $2$\displaystyle y=\frac{b}{2x}$ に代入すると，

$2$\displaystyle y=\pm\frac{b}{\sqrt{2a+2\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}=\pm\frac{(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)\sqrt{2a+2\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}{2b}$

と求まりました

この $2$x,y$ は $2$x^{2}-y^{2}=a$ を満たすようですので，これでいかがでしょうか

> サボテンさま
ご助言ありがとうございます。自分もその展開を考えたのですが，実数の世界のできごとのようですので，無理やりやってみました。

でもこれって結局 $2$\sqrt{a\pm{bi}}$ の実部虚部を求めよって問題ですよね？

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