数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[14]: 数Ⅲ　極限 / Page: 0]

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■36206 / inTopicNo.1)

　数Ⅲ　極限

□投稿者/ TTT 一般人(1回)-(2008/10/08(Wed) 17:13:24)

はじめましてＴＴＴです。数Ⅲの問題で質問させていただきます。
nを自然数とするとき
（１）不等式2^n≧1＋｛n（n－2）｝/2が成り立つことを示せ。
（２）（１）の不等式を用いて、極限lim[n→∞]n/2^nを求めよ。
数Ⅲに入ったところなので、まだ解き方に慣れていません。よろしくお願いします。

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■36207 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ 魑魅魍魎一般人(4回)-(2008/10/08(Wed) 17:29:51)

2^n>1＋｛n（n－2）｝/2 -------(1) (等号はないと思います)
n=1のとき成り立つ。
n=kのとき
2^k>1＋｛k（k－2）｝/2
成り立つと仮定する

n=k+1のとき
2^(k+1)=2*2^k
仮定より
2^(k+1)>2+k(k-2)=1+1+k^2-2k
=1+(k-1)(k+1)>1+(k-1)(k+1)/2

よって
2^(k+1)>1+(k-1)(k+1)/2
n=k+1のときも成り立つので(1)式は成り立つ。

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■36208 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ 魑魅魍魎一般人(5回)-(2008/10/08(Wed) 17:35:08)

2^n>1＋｛n（n－2）｝/2
より
0<1/2^n<2/(n^2-2n+2)
両辺にnを掛けると
0<n/2^n<2n/(n^2-2n+2)

lim[n→∞]2n/(n^2-2n+2)
=lim[n→∞]2/{n-2+(2/n)}
=0
はさみうちの定理より
lim[n→∞]n/2^n=0

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■36216 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ TTT 一般人(2回)-(2008/10/08(Wed) 20:49:06)

すみません、不等式2^n≧1＋n＋｛n（n－2）｝/2が成り立つことを示せ。
でした。これだと、n=1のときに等号成立して、あとは同じように数学的帰納法でとけばいいんでしょうか？

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■36219 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ 魑魅魍魎一般人(8回)-(2008/10/08(Wed) 21:26:25)

2^n≧1＋n＋｛n（n－2）｝/2
のときでも等号が成り立ちません。

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■36220 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ TTT 一般人(3回)-(2008/10/08(Wed) 22:12:09)

確かにそうですね。ではこの問題が間違っているのでしょうか（何度もすみません）

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■36221 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ 魑魅魍魎一般人(9回)-(2008/10/08(Wed) 22:25:38)

そうですね。

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■36235 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ TTT 一般人(4回)-(2008/10/09(Thu) 17:47:51)

2^n≧1＋n＋｛n（n－1）｝/2でした。本当にすみません。

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■36241 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ 魑魅魍魎一般人(10回)-(2008/10/10(Fri) 01:23:03)

2^n≧1＋n＋｛n（n－1）｝/2 -------(1)
n=1のとき成り立つ。
n=kのとき
2^k≧1＋k＋｛k（k－1）｝/2
成り立つと仮定する。

n=k+1のとき
2^(k+1)=2×2^k≧2＋2k＋k（k－1）
=2+k+k^2
=2+k+(k^2+k^2)/2
≧2+k+(k^2+k)/2
=2+k+{(k+1)k/2}
よって
n=k+1のときも成り立つので(1)式は成り立つ。

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■36243 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ 豆付き人(81回)-(2008/10/10(Fri) 11:48:40)

(1)別解
2^n=(1+1)^n=Σ[k=0→n]C[n,k]1^k・1^(n-k)　　
　　　　　　　=Σ[k=0→n]C[n,k]
　　　　　　　≧Σ[k=0→1]C[n,k]=1+n(n-1)/2
(2)両辺をnで割って、
2^n/n≧1/n+(n-1)/2　→　∞　(n→∞)
よって、n/2^n→0

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■36246 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ TTT 一般人(5回)-(2008/10/10(Fri) 18:29:58)

最後まで丁寧にありがとうございました。
何度もすみませんでした。

解決済み!

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■37610 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 数Ⅲ　微分

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□投稿者/ さき一般人(1回)-(2009/02/08(Sun) 15:40:12)

　　　　　eのx乗

Ｆ(ｘ)＝――――――
　　　　eのx乗＋１
　
とおく。
（１）ｙ＝ｆ(x)の増減を調べてグラフをかけ。
（２）ｆ(x)の逆関数を求めよ。

この問題解いていただきませんか？
できれば今日中にお願いします。

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■37611 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 数Ⅲ　微分

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□投稿者/ miyup 大御所(718回)-(2009/02/08(Sun) 16:42:03)

2009/02/08(Sun) 16:43:52 編集(投稿者)

■No37610に返信(さきさんの記事)
> 　　　　　eのx乗
> ｆ(ｘ)＝――――――
> 　　　　eのx乗＋１
> とおく。
> （１）ｙ＝ｆ(x)の増減を調べてグラフをかけ。

f'(x)＞0 より増加関数
f''(x)＝0 のとき x＝0 で変曲点
lim[x→∞]f(x)＝1、lim[x→-∞]f(x)＝0 より漸近線 y＝0,y＝1

> （２）ｆ(x)の逆関数を求めよ。

y＝e^x/(e^x+1) を変形して e^x＝g(y) の形にすれば x＝log g(y)

新しいスレを立ててください。

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■37612 / inTopicNo.14)

　Re[13]: 数Ⅲ　微分

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□投稿者/ さき一般人(2回)-(2009/02/08(Sun) 20:08:29)

ありがとうございます(＾＾)

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■37777 / inTopicNo.15)

　Re[14]: 数Ⅲ　極限

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□投稿者/ tataha 一般人(1回)-(2009/03/09(Mon) 01:51:46)

質問です。lim[n→∞](1＋3/2X)^x これはどうしたらいいのでしょうか？

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