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■36206
/ inTopicNo.1)
数V 極限
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□投稿者/ TTT
一般人(1回)-(2008/10/08(Wed) 17:13:24)
はじめましてTTTです。数Vの問題で質問させていただきます。
nを自然数とするとき
(1)不等式2^n≧1+{n(n−2)}/2が成り立つことを示せ。
(2)(1)の不等式を用いて、極限lim[n→∞]n/2^nを求めよ。
数Vに入ったところなので、まだ解き方に慣れていません。よろしくお願いします。
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■36207
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 数V 極限
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□投稿者/ 魑魅魍魎
一般人(4回)-(2008/10/08(Wed) 17:29:51)
2^n>1+{n(n−2)}/2 -------(1) (等号はないと思います)
n=1のとき成り立つ。
n=kのとき
2^k>1+{k(k−2)}/2
成り立つと仮定する
n=k+1のとき
2^(k+1)=2*2^k
仮定より
2^(k+1)>2+k(k-2)=1+1+k^2-2k
=1+(k-1)(k+1)>1+(k-1)(k+1)/2
よって
2^(k+1)>1+(k-1)(k+1)/2
n=k+1のときも成り立つので(1)式は成り立つ。
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■36208
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 数V 極限
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□投稿者/ 魑魅魍魎
一般人(5回)-(2008/10/08(Wed) 17:35:08)
2^n>1+{n(n−2)}/2
より
0<1/2^n<2/(n^2-2n+2)
両辺にnを掛けると
0<n/2^n<2n/(n^2-2n+2)
lim[n→∞]2n/(n^2-2n+2)
=lim[n→∞]2/{n-2+(2/n)}
=0
はさみうちの定理より
lim[n→∞]n/2^n=0
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■36216
/ inTopicNo.4)
Re[3]: 数V 極限
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□投稿者/ TTT
一般人(2回)-(2008/10/08(Wed) 20:49:06)
すみません、不等式2^n≧1+n+{n(n−2)}/2が成り立つことを示せ。
でした。これだと、n=1のときに等号成立して、あとは同じように数学的帰納法でとけばいいんでしょうか?
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■36219
/ inTopicNo.5)
Re[4]: 数V 極限
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□投稿者/ 魑魅魍魎
一般人(8回)-(2008/10/08(Wed) 21:26:25)
2^n≧1+n+{n(n−2)}/2
のときでも等号が成り立ちません。
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■36220
/ inTopicNo.6)
Re[5]: 数V 極限
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□投稿者/ TTT
一般人(3回)-(2008/10/08(Wed) 22:12:09)
確かにそうですね。ではこの問題が間違っているのでしょうか(何度もすみません)
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■36221
/ inTopicNo.7)
Re[6]: 数V 極限
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□投稿者/ 魑魅魍魎
一般人(9回)-(2008/10/08(Wed) 22:25:38)
そうですね。
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■36235
/ inTopicNo.8)
Re[7]: 数V 極限
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□投稿者/ TTT
一般人(4回)-(2008/10/09(Thu) 17:47:51)
2^n≧1+n+{n(n−1)}/2でした。本当にすみません。
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■36241
/ inTopicNo.9)
Re[8]: 数V 極限
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□投稿者/ 魑魅魍魎
一般人(10回)-(2008/10/10(Fri) 01:23:03)
2^n≧1+n+{n(n−1)}/2 -------(1)
n=1のとき成り立つ。
n=kのとき
2^k≧1+k+{k(k−1)}/2
成り立つと仮定する。
n=k+1のとき
2^(k+1)=2×2^k≧2+2k+k(k−1)
=2+k+k^2
=2+k+(k^2+k^2)/2
≧2+k+(k^2+k)/2
=2+k+{(k+1)k/2}
よって
n=k+1のときも成り立つので(1)式は成り立つ。
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■36243
/ inTopicNo.10)
Re[9]: 数V 極限
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□投稿者/ 豆
付き人(81回)-(2008/10/10(Fri) 11:48:40)
(1)別解
2^n=(1+1)^n=Σ[k=0→n]C[n,k]1^k・1^(n-k)
=Σ[k=0→n]C[n,k]
≧Σ[k=0→1]C[n,k]=1+n(n-1)/2
(2)両辺をnで割って、
2^n/n≧1/n+(n-1)/2 → ∞ (n→∞)
よって、n/2^n→0
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■36246
/ inTopicNo.11)
Re[10]: 数V 極限
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□投稿者/ TTT
一般人(5回)-(2008/10/10(Fri) 18:29:58)
最後まで丁寧にありがとうございました。
何度もすみませんでした。
解決済み!
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■37610
/ inTopicNo.12)
Re[11]: 数V 微分
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□投稿者/ さき
一般人(1回)-(2009/02/08(Sun) 15:40:12)
eのx乗
F(x)=――――――
eのx乗+1
とおく。
(1)y=f(x)の増減を調べてグラフをかけ。
(2)f(x)の逆関数を求めよ。
この問題解いていただきませんか?
できれば今日中にお願いします。
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■37611
/ inTopicNo.13)
Re[12]: 数V 微分
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□投稿者/ miyup
大御所(718回)-(2009/02/08(Sun) 16:42:03)
2009/02/08(Sun) 16:43:52 編集(投稿者)
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No37610
に返信(さきさんの記事)
> eのx乗
> f(x)=――――――
> eのx乗+1
> とおく。
> (1)y=f(x)の増減を調べてグラフをかけ。
f'(x)>0 より増加関数
f''(x)=0 のとき x=0 で変曲点
lim[x→∞]f(x)=1、lim[x→-∞]f(x)=0 より漸近線 y=0,y=1
> (2)f(x)の逆関数を求めよ。
y=e^x/(e^x+1) を変形して e^x=g(y) の形にすれば x=log g(y)
新しいスレを立ててください。
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■37612
/ inTopicNo.14)
Re[13]: 数V 微分
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□投稿者/ さき
一般人(2回)-(2009/02/08(Sun) 20:08:29)
ありがとうございます(^^)
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■37777
/ inTopicNo.15)
Re[14]: 数V 極限
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□投稿者/ tataha
一般人(1回)-(2009/03/09(Mon) 01:51:46)
質問です。lim[n→∞](1+3/2X)^x これはどうしたらいいのでしょうか?
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