数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 面積の積分の問題 / Page: 0]

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■36045 / inTopicNo.1)

　面積の積分の問題

□投稿者/ ザクロ一般人(8回)-(2008/09/30(Tue) 20:36:56)

正の定数tについて、xy平面上の曲線 y=logx と
x軸および2直線 x=t、x=t+3/2 とで囲まれた図形を、x軸の周りに1回転してできる立体の体積を V(t) とする。

t>0においてV(t)が最小になるtを求めよ。また、そのときの最小値を求めよ。

この問題、公式で
V(t)=π∫[t→t+3/2]{(logx)^2}dx　となるのは分かるのですが、
ここからどうやってV'(t)を導き出すのか分からないし、何よりこの積分方程式も解くことができません。
お願いします。

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■36047 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 面積の積分の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(552回)-(2008/09/30(Tue) 20:50:26)

2008/09/30(Tue) 20:53:08 編集(投稿者)

■No36045に返信(ザクロさんの記事)
> 正の定数tについて、xy平面上の曲線 y=logx と
> x軸および2直線 x=t、x=t+3/2 とで囲まれた図形を、x軸の周りに1回転してできる立体の体積を V(t) とする。
>
> t>0においてV(t)が最小になるtを求めよ。また、そのときの最小値を求めよ。
>
>
> この問題、公式で
> V(t)=π∫[t→t+3/2]{(logx)^2}dx　となるのは分かるのですが、
> ここからどうやってV'(t)を導き出すのか分からないし、何よりこの積分方程式も解くことができません。
部分積分を使用（+Cは省略）
∫logx dx＝∫1・logx dx＝x・logx-∫x・1/x dx＝x・logx - x
よって
∫(logx)^2 dx＝∫1・(logx)^2 dx＝x・(logx)^2-∫x・2logx/x dx
＝x・(logx)^2 - 2∫logx dx
＝x・(logx)^2 - 2(x・logx - x)

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■36049 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 面積の積分の問題

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□投稿者/ ザクロ一般人(9回)-(2008/09/30(Tue) 21:51:54)

なるほど、部分積分ですね。分かりました。

それと簡潔な解答には、V(t) は出していませんがV'(t)は以下のように出ています。
V'(t)=π･log(t^2+3t/2)･log(1+3/2t)
これがさっぱり分かりません。これだけ無造作に書かれているので、何か計算法があるのだと思います。
先ほどV'(t)が分からないと言ってすみません。出ているのですが導き方が分からないのです。
もちろんV(t)の微分で求めることはできますが…やはりインテグラルの形から求めれるのであればそうしたいです。
よろしくお願いします。

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■36052 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 面積の積分の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(554回)-(2008/09/30(Tue) 22:48:42)

■No36049に返信(ザクロさんの記事)
> なるほど、部分積分ですね。分かりました。
>
> それと簡潔な解答には、V(t) は出していませんがV'(t)は以下のように出ています。
> V'(t)=π･log(t^2+3t/2)･log(1+3/2t)
形式的に
　V(t)＝π∫[t→t+3/2]f(t)dt＝π[F(t)][t→t+3/2]＝π{F(t+3/2)-F(t)}
なので、これをtで微分すると
　V'(t)＝π{f(t+3/2)-f(t)}
となって元に戻って
　V'(t)＝π[ {log(t+3/2)}^2-{log(t)}^2 ]
　　　＝π{log(t+3/2)+log(t)}{log(t+3/2)-log(t)}
　　　＝π{logt(t+3/2)・{log((t+3/2)/t)}
　　　＝π{log(t^2+3t/2)・{log(1+3/2t)}
になります。
この後は、log(1+3/2t)＞0 なので、t^2+3t/2＞1 ⇔ V'(t)＞0 に留意すれば
増減表により、V(t)が最小となるのは t=1/2 のときとなります。

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■36054 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 面積の積分の問題

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□投稿者/ ザクロ一般人(10回)-(2008/09/30(Tue) 22:55:38)

素晴らしいです。とっても良く分かりました。
miyupさん、ありがとうございました。

解決済み!

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