 | 2008/09/30(Tue) 20:26:55 編集(投稿者)
■No36017に返信(tomokoさんの記事)
> 教えてください。
> 方程式y=-x^2+a_n x+b_nで定義された放物線C_nの頂点のx軸からの高さは(10)/(2^n), x軸との交点のx座標はα_{2n}, α_{2n+1}(α_{2n}<α_{2n+1})である。α_0=0,α_{2n-1}=α_{2n}であるとき,lim{n→∞}α_nを求めよ。
> ちなみに答えは,4√5(√2+1)です。
C[n]:y＝-x^2+a[n]x+b[n]＝-(x-1/2・a[n])^2+1/4・a[n]^2+b[n] より
1/4・a[n]^2+b[n]＝10/(2^n)…①
解と係数の関係
α[2n]+α[2n+1]＝a[n]…②
α[2n]・α[2n+1]＝-b[n]…③
を①に代入して
α[2n+1]-α[2n]＝2√10・(1/√2)^n
漸化式 α[2n-1]＝α[2n] から
α[2n+1]-α[2n-1]＝2√10・(1/√2)^n
α[2n-1]-α[2n-3]＝2√10・(1/√2)^(n-1)
…
α[3]-α[1]＝2√10・(1/√2)^1
辺々加えて
α[2n+1]-α[1]＝2√10・Σ[k=1,n](1/√2)^k…④
ここで、C[0]が(0,0)を通ることより b[0]＝0、a[0]＝α[1] で
①から a[0]＝2√10＝α[1]
よって④より
α[2n+1]＝2√10・{ 1+Σ[k=1,n](1/√2)^k }
漸化式 α[2n-1]＝α[2n] から
lim[n→∞]α[2n]＝lim[n→∞]α[2n+1]
すなわち
lim[n→∞]α[n]＝lim[n→∞]α[2n+1]＝2√10・{ 1+(1/√2)/(1-1/√2) }＝4√5(√2+1)
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