数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 図形に関する問題 / Page: 0]

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■3601 / inTopicNo.1)

　図形に関する問題

□投稿者/ FAXER 一般人(12回)-(2005/09/02(Fri) 17:08:45)

2005/09/02(Fri) 17:10:12 編集(投稿者)

(1)　体積が一定で底が正方形である四角柱のうちで、全表面積の最小のものを求めよ。（答え：立方体）
(2)　体積が一定の直円すいのうち、側面積が最小になるものの高さと底円の半径の比を求めよ。（答え：√2:1）

という問題なのですが、
(1)は、底の正方形の一辺をx、高さをhとおき、
表面積S=2x^2+4hx=2(x^2+2hx)=2(x+h)-2h^2となったのですが、
どのようにh=xとなるのかを示せばよいのでしょうか？

(2)は、底円の半径をx、高さをh、側面を扇形に開いたときの半径をaとおき、
側面積S=(1/2)×2πx×a=aπx=√(x^2+h^2)×πxとなったのですが、
ここからどのように平方完成すればいいのかわかりません。

よろしくお願いします。

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■3602 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 図形に関する問題

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□投稿者/ だるまにおんファミリー(193回)-(2005/09/02(Fri) 18:55:50)

(1)体積をa^3とでもおくと、hx^2=a^3(定数)、なのでこの式を用いてhを消去して微分するのがいいでしょう。

(2)側面を扇形に開いたときの中心角をθとおくと、
扇形の弧=底円の円周なので、2aπ･(θ/2π)=2xπ　∴θ=2xπ/a
側面積S=πa^2･(θ/2π)=πax
ところで、πx^2･h･(1/3)=p(定数)とでもおくと、h=3p/(πx^2)=q/x^2(q=3p/π)
また、a^2=x^2+h^2=x^2+(q^2/x^4)
S^2の最小値を求めればよいので、
S^2=π^2a^2x^2=π^2x^2{x^2+(q^2/x^4)}あとは微分すればよいですね。

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■3604 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 図形に関する問題

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□投稿者/ FAXER 一般人(13回)-(2005/09/03(Sat) 00:27:02)

> (1)体積をa^3とでもおくと、hx^2=a^3(定数)、なのでこの式を用いてhを消去して微分するのがいいでしょう。
Sの式にh=a^3/x^2を代入して微分するとS'=4{x-(a^3/x^2)}
①上の式より、x=a^3/x^2のとき0になるので、x^3=a^3となる。よって、立方体であることがわかる。
②上の式より、x=a^3/x^2のとき0になるので、Sの式にx=a^3/x^2を代入して6x^2となる。よって、立方体であることがわかる。

ここで、①と②のどちらかのように証明してもいいのでしょうか？

> (2)側面を扇形に開いたときの中心角をθとおくと、
> 扇形の弧=底円の円周なので、2aπ･(θ/2π)=2xπ　∴θ=2xπ/a
> 側面積S=πa^2･(θ/2π)=πax
> ところで、πx^2･h･(1/3)=p(定数)とでもおくと、h=3p/(πx^2)=q/x^2(q=3p/π)
> また、a^2=x^2+h^2=x^2+(q^2/x^4)
> S^2の最小値を求めればよいので、
> S^2=π^2a^2x^2=π^2x^2{x^2+(q^2/x^4)}あとは微分すればよいですね。
S^2を微分するとS^2'=2π^2x{x^2+(q^2/x^4)}+π^2x^2{2x-(4q^2/x^5)}でいいんですよね？すみませんが、ここからどうやればいいのでしょうか・・・？

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■3616 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 図形に関する問題

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□投稿者/ だるまにおんファミリー(195回)-(2005/09/03(Sat) 17:34:37)

(1)はそれでよいでしょう。
(2)x^2=tとおくと、
S^2=π^2t(t+q^2/t^2)
(S^2')/π^2=2t-q^2/t^2=(√(2t)-q/t)(√(2t)+q/t)
よってS^2が最小になるのは√(2t)=q/t　∴x=q/(x^2√2)
ところでh=q/x^2でしたから、h：x=√2：1

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■3621 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 図形に関する問題

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□投稿者/ FAXER 一般人(14回)-(2005/09/03(Sat) 19:24:02)

2005/09/03(Sat) 22:59:03 編集(投稿者)

上の説明で理解できました。
だるまにおんさんにはいつもお世話になって感謝してます。ｍ(＿　＿)ｍ
ありがとうございました。

解決済み!

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