| 2008/10/02(Thu) 11:54:18 編集(投稿者)
(1) x=k(0≦k≦n)のときの整数の組は (k,0),(k,1),…,(k,n-k) のn-k+1[個] ∴求める個数は Σ[k=0〜n](n-k+1)=Σ[l=0〜n](l+1)(l=n-kと置いた) =1+Σ[l=1〜n](l+1) =1+(1/2)n(n+1)+n =(1/2)(n^2+3n+2) [個]
(2) z=m(m=1,…,n) のときの整数の組(x,y,z)の組の個数は x+y≦n-m,x≧0,y≧0 を満たす整数(x,y)の組に等しく (1/2){(n-m)^2+3(n-m)+2}[個] (∵)(1)の結果から よって求める個数は Σ[m=0〜n](1/2){(n-m)^2+3(n-m)+2} =Σ[p=0〜n](1/2)(p^2+3p+2) (p=n-mと置いた) =1+(1/2)Σ[p=1〜n](p^2+3p+2) =1+(1/2){(1/6)n(n+1)(2n+1)+(3/2)n(n+1)+2n} =1+(1/2){(1/6)n(n+1)(2n+10)+2n} =1+(1/2){(1/3)n(n+1)(n+5)+2n} =(1/6){n(n+1)(n+5)+6n+6} =(1/6)(n^3+6n^2+11n+6) [個]
ということで ア1 イ3 ウ2 エ1 オ6 カ11 キ6 となりました。
|